Cách chứng minh hình chiếu vuông góc
Quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.98 KB, 22 trang ) 1. MỞ ĐẦU 1.3. Đối tượng nghiên cứu Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán cơ bản về tính khoảng cách. Tìm phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11. Phân biệt và lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm một cách linh hoạt hơn. 1 Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáo giảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của đề tài được xây dựng trên cơ sở lý thuyết bộ môn toán, thực tiễn giảng dạy và đối tượng học sinh được áp dụng: + Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11. + Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học phổ thông. + Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học không gian lớp 11. + Tổ chức thực hiện đề tài vào thực tế dạy học tại trường THPT Như Thanh. + Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng cho các lớp học sinh đã được giảng dạy. Nghiên cứu tài liệu. 2 2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học. Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học. Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính sáng tạo cao. Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể. Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng. Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó. Từ đó giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn. 2.2. Thực trạng của vấn đề Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn toán cũng như các môn học khác. Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đến học sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúng túng và bế tắc hơn. Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau, dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết quả học tập của học sinh còn hạn chế. Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do 3 chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh... Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp sau để các em học sinh có kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 thành thạo và có thể vận dụng vào các bài toán khác cũng như môn học khác. 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu: Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình dạy học. Bước 2. Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian. Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn. Qua đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh. 2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung: Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản). + d(M, a) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên a (Hình 1). + d(M, (P)) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên mp ( P) ( Hình 2). + Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp ( P) thì d vuông góc với mp ( P) . + Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 4 Cho một điểm M và mp ( P) không chứa M , xác định khoảng cách từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách d ( M ,( P )) = MH ( Hình 2) nên A luôn nằm trên một mp (Q) nào đó mà mp (Q) vuông góc với mp ( P) . Vì vậy, để xác định khoảng cách này ta cần làm theo các bước sau: Bước 1. Dựng mp (Q) đi qua M và vuông góc với mp ( P) Bước 2. Xác định giao tuyến d của mp ( P) và mp (Q) Bước 3. Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: MH ( P ) d ( M ,( P )) = MH Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt : + Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. + Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy. c) Áp dụng. Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Tính khoảng cách a) Từ D đến mp ( SAC ) . b) Từ A đến mp ( SBC ) Hướng dẫn giải. a) ( Học sinh dễ dàng tính được) Ta có: BD AC , BD SA BD ( SAC ) a 2 2 b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau: Bước 1: Xác định được BC ( SAB) BC ( SBC ) ( SBC ) ( SAB ) . Bước 2: SB = ( SBC ) ( SAB ) Bước 3:Trong ( SAB ) kẻ AH SB tại H thì AH ( SBC ) , suy ra d ( A,( SBC )) = AH . 1 1 1 1 1 5 2a 5 2a 5 = + = 2 + 2 = 2 AH = d ( A,( SBC )) = . 2 2 2 AH AB AS a 4a 4a 5 5 d ( D,( SAC )) = DO = Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC đều có cạnh bằng a , G là trọng tâm của tam 5 giác ABC . Tính khoảng cách a) Từ S đến mp ( ABC ) . b) Từ G đến mp ( SBC ) Hướng dẫn giải. a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt) S . ABC là hình chóp đều nên trọng tâm G của tam giác ABC cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có: SG ( ABC ) d (G ,( ABC )) = SG mà AG = 2 AM = 2 . a 3 = a 3 3 3 2 3 SG = SA2 AG 2 = a 6 d (G ,( ABC )) = a 6 . 3 b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau: Ta có: M là trung điểm của BC . BC AM , BC SM BC ( SAM ) ( SBC ) ( SAM ) , hay và ( SBC ) ( SAM ) = SM Kẻ GH SM tại H , suy ra: GH ( SBC ) d (G,( SBC )) = GH 1 1 1 12 3 27 = + = + = GH 2 GM 2 GS 2 a 2 2a 2 2a 2 3 GH = a 6 . Vậy d (G ,( SBC )) = a 6 9 9 Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài toán tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau: * Nếu M , N không thuộc mp( P) mà MI = k thì: MN cắt mp(P) tại I và NI d (M ,( P )) = k .d ( N ,( P )) Thậtvậy, MH MI = = k MH = k .MH ' NH ' NI d ( M ,( P )) = k .d ( N ,( P )) ( Hình 3) 6 Ví dụ 2. c) Tính khoảng cách từ N ( trung điểm của AB ) đến ( SBC )? Giải: Ta có: NC 3 3 a 6 = d ( N ,( SBC )) = d (G,( SBC )) = GC 2 2 6 (theo câu b) Ví dụ 2). Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A 2014, môn Toán) Cho hình chóp 3a S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD = , hình chiếu vuông 2 góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ điểm A đến mp ( SBD) . Phân tích bài toán: để tính khoảng cách từ điểm A đến ( SBD) ta cần dựng được hình chiếu vuông góc của A lên ( SBD) , tuy nhiên nếu việc làm này khó khăn thì ta có thể dùng cách khác để tính d ( A,( SBD)) . Nếu theo Nhận xét 1 ta có thể quy về tính khoảng cách khác. Vậy, ta có thể quy d ( A,( SBD)) về tính khoảng cách từ điểm nào đến ( SBD) ? Điểm đó có gì đặc biệt? Áp dụng Bài toán 1. + Học sinh lập luận và đưa ra lời giải: Bước 1: Quy d ( A,( SBD)) về d ( H ,( SBD)) . Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD). Giải. Gọi H là trung điểm của AB , nên SH ( ABCD ) . Ta có: AB = 2 d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) . AH Kẻ HM BD tại M thì BD ( SMH ) hay ( SBD) ( SMH ) , ( SBD) ( SMH ) = SM . Trong ( SMH ) kẻ HK SM tại K , suy ra: d ( H ,( SBD)) = HK . Ta có: a 5 a 2 . HD = , SH = SD2 HD 2 = a, HM = 2 4 Tam giác SHM vuông tại H , HK là đường cao nên: 1 1 1 1 8 9 a = + = + = HK = . 3 HK 2 HM 2 HS 2 a 2 a 2 a 2 7 2a . 3 Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng ( P ) chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên ( P ). Bài toán dễ dàng giải được nếu ta quy khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm M đến ( P ), mà M là hình chiếu vuông góc của một điểm N trên ( P ) lên ( Q ) nào đó và ( Q ) phải cắt ( P ). Khi đó việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) như sau: Vậy d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) = +Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. quy d ( A,( P)) về d ( M ,( P )) +Bước 2: Tính d ( M ,( P)) . - Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d của ( P ) và ( Q ) tại I . - Kẻ MH NI tại H thì MH ( P) , suy ra: d ( M ,( P)) = MH Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = 2 AB = 2a , G là trọng tâm của tam giác ABB ' . Tính khoảng cách từ điểm G đến mp ( AB ' C ') Giải. GO 1 = Gọi O là tâm của ABB ' A ' , ta có: A 'O 3 1 => d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C ')) 3 Gọi M là trung điểm của B ' C ' , ta có: A ' M B ' C ', B ' C ' AA ' => B ' C ' ( AA ' M ) hay ( AB ' C ') ( AA ' M ) và ( AB ' C ') ( AA ' M ) = AM Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H SM tại H , suy ra: A ' H ( AB ' C ') d ( A ',( AB ' C ')) = A ' H . A' M = 1 1 1 a 3 = + và 2 2 A' H A' M A ' A2 2 4 1 19 A ' H = 2a 57 d ( A ',( AB ' C ')) = 2a 57 . + 2= 2 2 3a 4a 12a 19 19 1 2a 57 Vậy d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C ')) = . 3 57 = 8 Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản) + d(a,(P)) = d(M,(P)) với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4). + d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5). b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. Phương pháp giải: Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1) Bước 2. Giải Bài toán 1. c) Áp dụng. Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách giữa AB và ( SCD) . Giải. AB / / CD AB / /( SCD ) Ta có: nên d ( AB,( SCD)) = d ( A,( SCD )) . Gọi O là tâm của ABCD thì AC SO ( ABCD ) mà = 2 , suy ra: OC d ( A,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) Gọi M là trung điểm của CD . Ta có: CD ( SOM ) hay ( SCD) ( SOM ) và ( SCD) ( SOM ) = SM . Trong ( SOM ) kẻ OH SM tại H thì OH ( SCD ) nên d (O,( SCD)) = OH . 1 1 4 4 a 3 a 3 a 1 Ta có: SH = = 2+ = 2 + 2 OH = , OM = , 2 2 4 2 2 OH OS OM 3a a a 3 a 3 Vậy d ( AB,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) =2. = . 4 2 9 Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, C ' D ' và B ' C ' . Tính khoảng cách: a) Giữa BC ' và ( AB ' D ') . b) Giữa ( MNP ) và ( AB ' D ') . Giải. BC '/ / AD ' BC '/ /( AB ' D ') a) Ta có , suy ra: d ( BC ', ( AB ' D ')) = d (C ', ( AB ' D ')) . Gọi O là tâm của A ' B ' C ' D ' , vì OA ' = AC ' nên d (C ', ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) . Ta có: B ' D ' (OAA ') hay ( AB ' D ') (OAA ') mà ( AB ' D ') (OAA ') = AO . Kẻ A ' H OA tại H thì A ' H ( AB ' D ') suy ra d ( A ', ( AB ' D ')) = A ' H . 1 1 1 1 2 a 3 a 3 . Vậy d ( BC ', ( AB ' D ')) = . = + = 2 + 2 => A ' H = 2 2 2 3 3 A' H A ' A A 'O a a b) Ta có: MN / / AD ', NP / / B ' D ' ( MNP) / /( AB 'D ') nên d (( MNP), ( AB ' D ')) = d ( N , ( AB ' D ')) . Gọi I là giao của A ' N và B ' D ' thì I là trọng tâm của tam giác A ' C ' D ' , suy ra: khi đó: NI 1 = , A' I 2 1 a 3 d ( N , ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) = . 2 6 (theo câu a)) a 3 Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) = . 6 Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng cách. Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản) a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b. b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt a, b tại M , N thì MN được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b. c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a, b được gọi là khoảng cách giữa a, b. + d (a, b) = MN trong đó MN là đoạn vuông 10 góc chung của a và b ( Hình 6). b) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Ta đã biết khoảng cách giữa a và b là độ dài của đoạn vuông góc chung của a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau: Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng a, b vuông góc): Bước 1. Dựng mp( P) chứa b, vuông góc với a tại A ( Hình 7). Bước 2. Kẻ AB vuông góc với b tại B . Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Bước 1. Dựng mp( P ) chứa b song song với a, Bước 2.Dựng mp( Q ) chứa a ( Q ) ( P ), ( Q ) cắt b tại B Bước 3. Từ B dựng d ( P) cắt a tại A . Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 8) Cách 3: Bước 1. Dựng ( P) a tại O và dựng hình chiếu vuông góc b' của b lên ( P ). Bước 2. Dựng hình chiếu vuông góc H của O lên b' Bước 3. Qua H dựng d // a và d cắt b tại B, kẻ BA a tại A . Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 9) c) Áp dụng. Ví dụ 7. Cho hình tứ diện S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a . Gọi I là trung điểm của BC . Xác định và tính khoảng cách: a) Giữa SA và BC . b) Giữa AI và SC . Hướng dẫn giải 11 a)( Học sinh dễ dàng giải được) Ta có: SA ( SBC ) nên SA BC , SI SA mà tam giác SBC cân tại S . Suy ra SI là đoạn vuông góc chung của SA và BC . Ta có: SI = BC a 2 = 2 2 Bình luận: Ở câu a) thì SA BC nên việc dựng đoạn vuông góc chung khá dễ dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, vậy ta sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có ( SAB) SC nên ta có thể dùng cách 3 để dựng đoạn vuông góc chung của AI và SC như sau: b) Hướng dẫn giải Ta có: ( SAB) SC Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vuông góc của AI lên ( SAB) : Qua I kẻ IK / / SC và cắt SB tại trung điểm K , suy ra IK ( SAB) , nên AK là hình chiếu vuông góc của AI lên ( SAB) . Bước 2 Kẻ SH AK tại H . Bước 3 Hoàn thành dựng đoạn vuông góc chung của AI và SC : Kẻ HN / / SC ( N AI ) và kẻ MN / / SH ( M SC ). Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AI và SC và MN = SH . Ta có: 1 1 1 1 4 a 5 a 5 . Vậy d ( AI , SC ) = MN = . = 2 + 2 = 2 + 2 => SH = 2 5 5 SH SA SK a a Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với ( ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa SD và AC . Hướng dẫn giải. Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của AC và SD theo cách 2 như sau: Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI Dt tại I , suy ra Dt ( SAI ) , kẻ AE SI tại E , kẻ EM / / AC ( M SD ) và kẻ MN / / AE ( N AC ). Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của SD và AC và MN = AE . Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD = BD a 2 , tam giác SIA vuông tại A = 2 2 12 và AE là đường cao nên 1 1 1 1 2 a 3 . = + = + => AE = 3 AE 2 SA2 AI 2 a 2 a 2 a 3 Vậy d ( AC , SD) = . 3 Nhận xét 4: + Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh. + Còn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau gặp khó khăn. Nếu như học sinh không nắm được cách dựng cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là không nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học sinh không mấy hứng thú gì đến bài toán này. Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể chuyển bài toán này qua Bài toán 1. Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.( Hình 10) Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11) * Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật) chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau: Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b và ( P ) // a. ( Hình 10, Hình 11) Bước 2: Quy d ( a, b) = d (a, ( P )) 13 Bước 3: Quy d ( a,( P )) = d ( M ,( P)) , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài toán 1) Ví dụ 8. Cách giải 2: Dựng đường thẳng Dt / / AC thì ( Dt , S ) / / AC nên: d ( AC , SD) = d ( AC , (S , Dt )) = d ( A,( S , Dt )) Kẻ AI Dt tại I , suy ra Dt ( SAI ) hay ( SDI ) ( SAI ), ( SDI ) ( SAI ) = SI . Kẻ AE SI tại E và AE ( S , Dt ) suy ra: d ( A,( S , Dt )) = AE . a 2 Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD = . 2 SAI vuông tại A AE là đường cao nên Tam giác và 1 1 1 1 2 a 3 d ( AC , SD) = a 3 . Vậy = + = + => A E = 3 3 AE 2 SA2 AI 2 a 2 a 2 Ví dụ 7. câu b) Cách giải 2: Kẻ IK / / SC ( K SD ) thì SC / /( AIK ) nên: d ( SC , AI ) = d ( SC ,( AIK )) = d ( S ,( AIK )) . Ta có ( AIK ) ( SAB), ( AIK ) ( SAB) = AK . Kẻ SH AK thì SH ( AIK ) d ( S ,( AIK )) = SH . Tam giác SAK vuông tại S và SH là chiều cao nên: 1 1 1 1 4 a 5 . = 2 + 2 = 2 + 2 => SH = 2 5 SH SA SK a a a 5 Vậy d ( SC , AI ) = MN = . 5 S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật Ví dụ 9. Cho hình chóp AD = 2 AB = 2a , SA ( ABCD) và SA = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Tính khoảng cách giữa BM và SN . Giải. Ta có BM / / DN thì BM / /( SDN ) nên d ( BM , SN ) = d ( BM ,( SND)) MD 1 1 = d ( M ,( SND )) , mà = suy ra: d ( M ,( SND)) = d ( A,( SND )) . AD 2 2 ND AN , ND SA ND ( SAN ) Ta có hay ( SND) ( SAN ), SN = ( SND) ( SAN ) . Kẻ AH SN tại H thì d ( A,( SND )) = AH 14 Tam giác SAN vuông tại A, AH là chiều cao ta có: 1 1 1 1 1 a 6 . = + = + => AH = 3 AH 2 AS 2 AN 2 a 2 2a 2 1 a 6 a 6 Vậy d ( BM , SN ) = . = 2 3 6 Nhận xét 5: Qua các cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 phần nào giúp học sinh nắm được ưu nhược điểm của các cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất, nhanh nhất cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. + Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì cách dùng đoạn vuông góc chung để tính khoảng cách là tốt nhất. + Trường hợp còn lại, thì việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau ta sẽ quy việc tính khoảng cách đó về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nhất là đối các bài thi trắc nghiệm như hiện nay thì trước một bài toán học sinh không chỉ biết các giải nó mà còn phải biết lựa chọn và áp dụng cách giải nhanh nhất. Các ví dụ sau đây giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chuyển các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian về Bài toán 1 và rèn luyện kỹ năng quy điểm cần tính khoảng cách về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc ·ABC = 60o , SA = AC , SB = SD góc giữa SA và mặt đáy bằng 60o. Tính khoảng cách giữa: a) AC và SD . b) AB và SC . Giải Gọi O là tâm của ABCD , suy ra SO ( ABCD ) . a) Ta có AC ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH SD tại H thì: d ( AC , SD) =OH . · Góc giữa SA và ( ABCD ) bằng góc giữa SA và OA bằng SAO = 60o , các a 3 tam giác ABC , SAC , ADC là tam giác đều, có AC = AB = a , SO = OD = , 2 suy ra tam giác SOD vuông cân tại O và a 3 2 a 6 a 6 . Vậy d ( AC , SD) = . OH = . = 2 2 4 4 15 b) Ta có AB / / CD suy ra AB / /( SCD ) nên d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( A,( SCD )) AC = 2 nên d ( A,( SCD)) = 2d (O,( SCD)) Vì OC Từ O kẻ OI CD tại I thì CD ( SOI ) , ( SCD) ( SOI ),( SCD) ( SOI ) = SI kẻ OK SI tại K , suy ra: OK ( SCD ) d (O,( SCD)) = OK . Tam giác OCD vuông tại O ta có: 1 1 1 = + . Tam giác SOI vuông tại O ta có: 2 2 OI OC OD 2 1 1 1 1 1 1 4 4 4 20 a 15 . = 2+ 2= + + + = => OK = 2 2 2 2 = 2 + OK OI OS OC OS OD 10 a 3a 2 3a 2 3a 2 a 15 Vậy d ( AB, SC ) = . 10 Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A 2012, môn Toán) Cho hình chóp S . ABC có ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là điềm H sao cho AH = 2CH . Góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60o. Tính khoảng cách giữa SA và BC . Giải Kẻ đường thẳng At / / BC nên : BC / / mp ( S , At ) d ( BC , SA) = d ( BC ,( S , At )) = d (C ,( S , At )) mà CA 3 3 = d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At )) HA 2 2 Kẻ HG At tại G thì AG ( SHG ) hay ( SAG ) ( SHG ) và ( SAG ) ( SHG ) = SG Kẻ HK HG tại K thì HK ( SAG ) suy ra: d ( H , ( SAG )) = HK . Ta có BH 2 = HC 2 + BC 2 2.HC.BC.cos 600 = a 7 3 2 a 3 · AM = , SCH = 60o 3 3 a 21 1 1 1 24 a 42 SH = 3HB = = + 2 = 2 HK = 2 2 3 12 HK HG HS 7a 3 a 42 d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At )) = . 2 8 HG = 16 a 42 Vậy d ( BC , SA) = 8 Ví dụ 12. ( Trích đề thi THPT QG - 2015, môn Toán) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ( ABCD) , góc giữa SC và mặt đáy bằng 45o. Tính khoảng cách giữa AC và SB . Giải d / / AC Kẻ đường thẳng d qua B và , AC / / mp ( S , d ) ta có: , d ( AC , SB ) = d ( AC , ( S , d )) = d ( A,( S , d )) Kẻ AM d tại M , AH AM tại H . Khi đó: BM ( SAM ), hay ( SBM ) ( SAM ) ( SBM ) ( SAM ) = SM . Suy ra AH ( S , d ) d ( A,( S , d )) = AH · Ta có SCA = ( SC ,( ABCD )) = 45o SA = AC = a 2 . Tam giác SAM vuông tại A và đường cao AH nên 1 1 1 5 a 10 . = 2+ = 2 d ( AC , SB) = AH = 2 2 5 AH AS AM 2a Ví dụ 13. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' , G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( B ' AC ) và ( ABC ) bằng 30o . Tính khoảng cách giữa AC và B ' G . Giải Đường thẳng đi qua G cắt BA, BC lần lượt tại M , N ta có: AC / / MN nên AC / /( B ' MN ) . Khi đó: d ( AC , B ' G ) = d ( AC ,( B ' MN )) = d ( A,( B ' MN )) Ta có: AM 1 1 = d ( A,( B ' MN )) = d ( B,( B ' MN )) . BM 2 2 Ta có BG MN ( BGB ') ( B ' MN ) , kẻ BH B ' G thì BH ( B ' MN ) d ( B ,( B ' MN )) = BH Gọi D trung điểm của AC , I là hình chiếu vuông góc của G lên ( B ' AC ) , ta · có: GI = a , BDB ' = (( B ' AC ),( ABC )) = 30o suy ra GD = 2a, BD = 6 a, BG = 4a , BB ' = BD.tan 30o = 2a 3 . Tam giác BB ' G vuông tại B và BH là chiều cao nên: 17 1 1 1 7 2a 84 . = + = BH = 2 2 2 2 7 BH BG BB ' 48a 1 2a 84 a 84 Vậy d ( A,( B ' MN )) = . . = 2 7 7 Ví dụ 14. ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, môn Toán) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của A ' lên ( ABC ) là trung điểm của AB . Góc giữa A ' C và mặt đáy bằng 60o . Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') . Giải Gọi H là trung điểm của AB , ta có: BA = 2 d ( B,( ACC ' A ')) = 2d ( H ,( ACC ' A ')) . HA Kẻ HM AC tại M ta được AC ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ') ( A ' HM ) và ( ACC ' A ') ( A ' HM ) = A ' M . Kẻ HK A ' M HK ( ACC ' A ') và d ( H , ( ACC ' A ')) = HK . Ta có: a 3 3a , CH = , A ' H = CH .tan 60o = 2 2 1 a 3 . Tam giác A ' HM vuông tại H, HK là đường cao nên MH = HC = 2 4 1 1 1 52 3a 52 . = + = HK = 52 HK 2 HM 2 HA '2 9a 2 3a 52 Vậy d ( B, ( ACC ' A ') = 2 HK = . 26 2.4. Kết quả đạt được qua việc áp dụng SKKN. *) Đối với học sinh sau khi tiếp thu nội dung: Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11. + 100% học sinh đạt yêu cầu và thành thạo giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm điến một mặt phẳng ( bài toán cơ bản). + Kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học không gian được nâng lên rõ rệt qua việc quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. + Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. + Nâng cao kỹ năng giải nhanh bài toán tính khoảng cách cho dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm. 18 + Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động tìm tòi và giải bài toán tính khoảng cách và các bài toán trong hình học không gian khác cũng như các em tự tin hơn trước các bài toán khó. Năng lực tư duy của đa phần học sinh được cải thiện đáng kể. Trong năm học 2016 2017, sau khi áp dụng SKKN này vào lớp 11B 3 trường THPT Như Thanh. Tôi đã yêu cầu học sinh của lớp này làm bài tập sau đây: Tìm các bài toán hình học không gian về tính khoảng cách dạng câu hỏi trắc nghiệm và giải chúng. Kết quả các em làm bài ở phần phụ lục. *) Đối với bản thân và đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này: + Chất lượng giảng dạy và giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và của trường THPT Như Thanh được nâng lên đáng kể. Kỹ năng vận dụng các phương pháp giảng dạy và giáo dục học sinh ngày càng hoàn thiện. + Nội dung, ý tưởng của SKKN được đồng nghiệp đánh giá cao. 19 3. KẾT LUẬN Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau : - Rèn luyện kỹ năng giải và giải nhanh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (bài toán cơ bản). - Đưa ra phương pháp, kỹ thuật quy bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 về bài toán cơ bản, đồng thời chỉ ra cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (đây là bài toán khó). Qua đó, các em học sinh đã nâng cao năng lực tư duy trước các bài toán mà lâu nay các em còn bế tắc. Các em có nền kiến thức, phương pháp vững chắc về hình học không để vận dụng vào kiến thức hình học lớp 12 đặc biệt là phần thể tích khối đa diện và khối tròn xoay. Qua giảng dạy tôi thấy rằng: Bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 không phải là một vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy có nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm đúng mức vần đề này, đặc biệt là chỉ rõ cho học sinh bản chất của việc tính khoảng cách và phương pháp, kỹ thuật tính nhanh nhất. Vì vậy, vấn đề nào cho dù khó mà giáo viên quan tâm và truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các em trong việc học tập và nghiên cứu của các em. SKKN này nếu được áp dụng rộng rãi sẽ giúp các em học sinh có thêm những kĩ năng giải loại toán này, rèn luyện tư duy từ đó tự tin hơn khi thi Đại học, và góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp. Rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các em học sinh, của quý Thầy, Cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2017 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Người thực hiện Lê Đình Ngọc 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Sách giáo khoa hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010 TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên) [ 2] Sách bài tập hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010 TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên) [ 3] Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất bản giáo dục 2010 Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG NGHĨA. [ 4] Giải toán Hình Học 11 - Nhà xuất bản giáo dục 2004 TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên)... [ 5] Đề thi Đại học các khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. [ 6] Tài liệu nguồn Internet. 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Lê Đình Ngọc Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên dạy môn Toán, trường THPT Như Thanh, Thanh Hoá. Cấp đánh giá Kết quả Năm học xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN đánh giá (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; xếp loại (A, B, hoặc C) Tỉnh...) 1. Sử dụng phương pháp hàm Ngành GD Tỉnh số giải bài toán tìm giá trị Thanh Hoá nhỏ nhất, giá trị lớn nhất C 2013 - 2014 của biểu thức chứa nhiều biến ---------------------------------------------------- 22 |