Cách nhẩm nghiệm phương trình chứa tham số

10:38 09/03/2022

Phương trình bậc cao là một bài toán “khó” đối với nhiều học sinh. Tính nhẩm nghiệm nguyên của một phương trình giúp giảm thời gian giải phương trình và tìm nghiệm còn lại. Hiểu rõ điều này Colearn sẽ mang đến cho bạn những cách nhẩm nghiệm cực hay các phương trình bậc cao nhanh chóng nhất, cùng lưu lại nào! 

Bất kỳ học sinh nào cũng nên biết cách nhẩm nghiệm

Các cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 phổ biến

Học cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Định nghĩa rõ ràng phương trình bậc 2: 

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax^2 + bx + c = 0. 

Ở đây:  

• x là ẩn số
• a, b, c là các số đã biết trước (a khác 0)
• a, b, c là hệ số của phương trình, có thể phân biệt bằng cách gọi tên các hệ số của x (theo phương trình trên, a là hệ số bậc hai, b là một hệ số tuyến tính, và c là một chu kỳ không đổi hoặc tự do).  

Xem thêm: MINDMAP – 5 PHÚT THUỘC NHANH TOÁN LỚP 6 CỰC KỲ HIỆU QUẢ

Cơ sở lý thuyết của cách nhẩm nghiệm: dựa vào định lý Vi-ét

Định lý bao gồm 2 phần, phần thuận và phần đảo:

• Nếu phương trình dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có hai nghiệm x1, x2 thì 

• Mặt khác, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv= P thì u và v  là các nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

Cách 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

• Nếu phương trình đã cho có dạng sau: x2 - (u+v)x + uv = 0    thì phương trình đó có 2 nghiệm tương ứng là u và v.
• Nếu phương trình đã cho có dạng sau: x2 + (u+v)x + uv = 0   thì phương trình đó có 2 nghiệm tương ứng là -u và -v. 
• Do đó, loại này yêu cầu hai phép tính nhẩm: “ Phân tích hệ số C biến thành tích và hệ số B biến thành tổng”. Hai phép toán này yêu cầu bạn tính hệ số C trước rồi kết hợp với B để tìm hai số thỏa mãn tích của chúng bằng C và tổng của chúng bằng B.
• Trong khi thực hiện cách nhẩm nghiệm này, hãy nhẩm lại những điều sau: Tích của hai nghiệm bằng C, tổng của hai nghiệm bằng B.

Nếu các em học sinh muốn cải thiện năng lực nhanh hơn nên đăng ký lớp học trực tuyến của Colearn để hiểu sâu kiến thức và giải được các bài tập cùng dạng dễ dàng.

Cách 2: A + B + C = 0 và A - B + C = 0

    x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)

• Thay v = 1 cho (1) ta được các trường hợp tính nhẩm quen thuộc a + b + c = 0, a = 1, b = (u + 1), c = u. 
• Thay v = -1 cho (1) có thể dẫn đến trường hợp nhẩm nghiệm sau đây a - b + c = 0, a = 1, b = -(u-1), c = -u

Cách 3: Hai nghiệm đảo nghịch với nhau

• Nếu u khác 0, v = 1/u thì (1) trở thành dạng như sau: 

       

• Khi đó phương trình có 2 nghiệm đảo nghịch với nhau là x = u, x = 1/u, có thể nói trường hợp này khá phổ biến ở cách nhẩm nghiệm khi giải các bài toán phương trình.

Xem thêm: Cách tính điểm đại học chính xác nhất nên biết

Cách 4: Các trường hợp ngoại lệ

Cho phương trình có hệ số khác 1 mà không thuộc cách nhẩm nghiệm 2 hoặc 3 thì phép tính phải chia cho a cả hai vế và rút gọn thành cách nhẩm nghiệm 1 đã đề cập phía trên để nhẩm nghiệm nhanh chóng. Các em có thể tham khảo thư viện khoa học tổng hợp của Colearn để nắm vững kiến thức trọng tâm nhanh nhất.

Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner

 
Nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 cực nhanh

Phương trình bậc ba là gì?

Trước khi tìm hiểu chi tiết về phương pháp nhẩm nghiệm, chúng ta cần hiểu rõ phương trình bậc ba là gì. Trên thực tế, đây là phương trình có lũy thừa cao nhất là ba. Phương trình bậc ba là một trong những phương trình khó và có thể giải được bằng nhiều cách giải linh hoạt. Đặc biệt, hãy tham khảo cách nhẩm nghiệm sau đây nhé!

Cách nhẩm nghiệm

Khi gặp các bài toán liên quan đến tham số của phương trình bậc ba, các bạn thường sử dụng nguyên tắc suy ra nghiệm rồi chia cho Hoocner. Đây cũng là cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 mà Colearn muốn hướng dẫn bạn.

Xem thêm: Cách học giỏi Toán không còn quá xa vời

Nguyên tắc khi nhẩm nghiệm

• Nếu tổng cộng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1
• Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = -1 
• Nếu phương trình này có chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai 

Chia Hoocner: đầu rơi - nhân tới - cộng chéo => Phương trình đã nhẩm được nghiệm.

Phương pháp nhẩm nghiệm phương trình trùng phương - phương trình bậc 4. 

Trong đại số, phương trình trùng dương có dạng:  ax^4 + bx^2 + c = 0 (a khác 0) (*) 

Vì bậc cao nhất là 4 nên phương trình trùng dương có thể được gọi là phương trình bậc bốn có khoảng cách từ 3 đến 1 về lũy thừa. Để giải được phương trình bậc 4 chúng ta hẳn là sẽ có vô vàn phương pháp, tuy nhiên Colearn sẽ bật mí cho các bạn cách nhẩm nghiệm nhanh - gọn - lẹ - chính xác để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán phương trình này nhé!

Xem thêm: 5 Bí quyết học giỏi Toán Hình từ mất gốc đến nâng cao

Khi biết cách áp dụng cách nhẩm nghiệm sẽ giúp học sinh tiến bộ trong học tập

Cách nhẩm nghiệm: 

• Đặt t = x^2 (t>=0) thì (*) ⇔ at^2 + bt + c = 0 (**)
• Việc xác định số nghiệm của (*) phụ thuộc vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng: 

• Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép mang dấu âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt mang dấu âm.
• Phương trình (*) có 1 nghiệm ⇔ (**) có nghiệm kép t1 = t2 = 0 hoặc (**) có 1 nghiệm = 0 và nghiệm còn lại mang dấu âm. 
• Phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ (**) có nghiệm kép mang dấu dương hoặc (**) có 2 nghiệm trái dấu nhau.
• Phương trình (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại mang dấu dương. 
• Phương trình (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm mang dấu dương phân biệt. 

Có thể sẽ gặp một chút khó khăn đối với chúng ta khi chưa quen cách nhẩm nghiệm, nhưng đừng vội bỏ cuộc vì sợ khó. Các em có thể tham khảo giải bài tập sách giáo khoa để hiểu sâu cách giải những dạng bài tập quan trọng. Hãy tưởng tượng rằng kết quả của phép tính nhẩm là "vô số" so với "vô số trở ngại" mà bạn phải đối mặt. Bạn sẽ có động lực hơn để tiến về phía trước. Colearn chúc bạn luôn học tốt.

11:00:1408/06/2020

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

- Tính biệt số Δ

- Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 (*)

° Lời giải:

- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ'. Ta có:

Δ'= [-(m + 1)]2 – 3.(3m – 5)

  = (m + 1)2 – 9m +15 > 0

  = m2 + 2m + 1 – 9m + 15

  = m2 – 7m + 16 > 0

  = (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

- Như vậy, Δ' > 0, ∀m ∈ R nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình bậc 2 chứa ẩn dưới dấu căn cực hay 

* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (*)

° Lời giải:

• TH1: Nếu m = 0 thay vào (*) ta được:

 

• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ' như sau:

 

- Nếu 

: Phương trình (*) vô nghiệm

- Nếu 

: Phương trình (*) có nghiệm kép: 

- Nếu 

: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

¤ Kết luận:

 m > 4: Phương trình (*) vô nghiệm

 m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

 m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

 m < 4 và m ≠ 0: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

 

* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ (Δ').

- Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 (ax2 + bx + c = 0) có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

* Với 

 thì PT bậc 2:

- Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

- Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) ⇔ Δ = 0

- Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

- Có 2 nghiệm cùng dấu

- Có 2 nghiệm trái dấu 

- Có 2 nghiệm dương (x1, x2>0) 

- Có 2 nghiệm âm (x1, x2<0) 

- Có 2 nghiệm phân biệt đối nhau 

- Có 2 nghiệm phân biệt là nghịch đảo của nhau 

- Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 

- Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiện phân biệt

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tìm: 

 

 Bước 3: Kết hợp (1) và giả thiết giải hệ: 

 Bước 4: Thay x1, x2 vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải:

- Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

- PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

 ⇔ [-(m + 1)]2 – 3.(3m – 5) > 0

 ⇔ (m + 1)2 – 9m +15 > 0

 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0

 ⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 (∀m ∈ R).

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x1; x2 khi đó theo định lý Vi–et ta có:

 (1); và  (2)

- Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi đó thay vào (1) ta có: 

Thay x1, x2 vào (2) ta được: 

 

 

 

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 - x2| = k (với k ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = k2

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 thay vào biểu thức trên được kết quả.

* Ví dụ: cho phương trình x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (m là tham số).

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x1 - x2)2 = x1 - 3x2.

° Lời giải:

a) Ta có: 

- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

 

b) Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m<5/4.

- Áp dụng Vi-ét, ta có: 

- Theo bài ra: (x1 - x2)2 = x1 - 3x2

 

 [khai triển hằng đẳng thức và thêm bớt 2x1x2]

 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = x1 - 3x2 [Nhóm lại số hạng]

 ⇔ (2m - 1)2 - 4(m2 - 1) = x1 - 3x2 [thay hệ thức Vi-ét vào]

 ⇔ x1 - 3x2 = 5 - 4m (**)

- Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

 

- Mặt khác, lại có: x1x2 = m2 - 1 

 

 

 

- Đối chiếu với điều kiện m<5/4 thấy m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

• Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m;

 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

 Bước 2:  Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 

 Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

* Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 

 (với x1, x2 là nghiệm của pt đã cho)

° Lời giải:

a) Ta có: 

 

- Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 

 

 (không phụ thuộc vào m).

c) Ta có: 

 

 

 

- Do đó:

 dấu "=" xảy ra khi 

⇒ Kết luận: Pmin = 15/4 khi m = 5/4.

• So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

 Bước 1: Tìm điều kiện phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm lớn hơn α (x1 > x2 > α)

 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α (x1 < x2 < α)

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

  +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x1 < α < x2

 

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

* Ví dụ: Cho phương trình x2 -2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2.

° Lời giải:

a) Ta có: 

 

 Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo Vi-ét ta có: 

 Theo yêu cầu bài toán thì x1 < 1 < x2 

 

 

 Thay (*) và (**) ta được: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0

 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

⇒ Kết luận: Vậy với mọi m thì pt trên có 2 nghiệm x1, x2 thỏa  x1 < 1 < x2.