Giải bài 92 sbt toán 9 tập 1 hình học năm 2024
\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) Từ đó chứng tỏ:
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau. Gợi ý làm bài Ta có: \({1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\) \( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\) \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\) \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\) \( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.
\(x + y + z \ge 0\) \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \(\eqalign{ & {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \) Hay: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)
Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm. Từ chứng minh trên, ta có: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) Hay: \(\eqalign{ & {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \) Câu 95 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:
Gợi ý làm bài Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có: \(a > 0,b > 0,c > 0\) suy ra: \(\sqrt a > 0,\sqrt b > 0,\sqrt c > 0\) Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) Ta có: \(\eqalign{ & x + y + z > 0,{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0, \cr & {\left( {y - z} \right)^2} \ge 0,{\left( {z - x} \right)^2} \ge 0 \cr} \) Suy ra: \(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\) \( \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\) \( \Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)\left[ {({x^2} - 2xy + {y^2})({y^2} - 2yz + {z^2})({z^2} - 2zx + {x^2})} \right] \ge 0\) \( \Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\) \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\) \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2} \ge 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr & \Leftrightarrow {{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz \cr} \) Thay \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \), ta có: \(\eqalign{ & {{{{(\root 3 \of a )}^3} + {{(\root 3 \of b )}^3} + {{(\root 3 \of c )}^3}} \over 3} \ge \root 3 \of a .\root 3 \of b .\root 3 \of c \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \) Các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thích thì \({{a + b + c} \over 3}\) không đổi. Vì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) và \({{a + b + c} \over 3}\) không đổi nên \(\root 3 \of {abc} \) \(\root 3 \of {abc} \) đạt giá trị lớn nhất \({{a + b + c} \over 3}\) khi a = b = c. |