Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến.
Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian
1. Vectơ pháp tuyến là gì ?
Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\vec{n}$ khác vectơ – không, có giá vuông góc với đường thẳng $d$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
- Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $k.\vec{n}$ [ với k khác 0] cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó
Cụ thể như sau:
Nếu $\vec{n} =[1;2]$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $\vec{n_1} =[2;4] =2\vec{n}$; $\vec{n_2} =[-2;-4] =-2\vec{n}$; $\vec{n_3} =[\frac{1}{4};\frac{1}{2}] =\frac{1}{4}\vec{n}$… cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
Tham khảo bài giảng:
2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Dạng 1:
Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\neq 0$ thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\vec{n}=[a;b]$
Dạng 2:
Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số $\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; [a^2+b^2\neq 0]$
hoặc ở dạng phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$ $[a\neq 0, b\neq 0]$ thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là $\vec{u}=[a;b]$, khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là $\vec{n}=[-b;a]$ hoặc $\vec{n}=[b;-a]$
Dạng 3:
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
- Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}[a;b]$
- Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng $d’$ là: $\vec{u}=[-b;a]$ hoặc $\vec{u}=[b;-a]$
- Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ chỉ phương $\vec{u}=[-b;a]$ của $d’$
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông
Dạng 4:
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
- Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}[a;b]$
- Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ $\vec{n}=[a;b]$ của $d’$
Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song.
Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng
Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Tìm Tiếp Tuyến Và Pháp Tuyến
[Có Kèm Ví Dụ và Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả]
Tóm tắt tiếp tuyến và pháp tuyến
Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc ở một điểm với một đường cong khác trong tọa độ hai chiều hoặc với mặt cong trong tọa độ ba chiều. Pháp tuyến là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường cong hay mặt cong.
Giả sử đường cong f[x] liên tục trên
đoạn [a, b] trong tọa độ Đềcac vuông góc.
Một đường thẳng [A] khác tiếp xúc với đường cong f[x] tại điểm
Hình 1.
Theo Hình 1, đường thẳng [A] gọi là
đường tiếp tuyến với đường cong f[x] và công thức biểu diễn đường tiếp tuyến
này theo đường cong f[x] tại
Với
Vì các giá trị
y
= ax + b, trong đó a là hệ số góc có gía trị bằng
Muốn tìm đường thẳng pháp tuyến [B]
với đường cong f[x] tại
Vi dụ minh họa và dùng GraphFunc để kiểm chứng
Ví dụ 1: Cho đường cong
Lấy đạo hàm f’[x] = 2x. Như vậy, tại điểm x = 1, ta có:
f[1] = 2 và đạo hàm f’[1] = 2.
Đường thẳng tiếp tuyến với đường cong f[x] tại điểm x = 1 là:
y – 2 = 2[x-1] => y = 2x.
Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả
Bạn vào trang web //viet.seriesmathstudy.com. Tiện ích GraphFunc được hiển thị như trong Hình 2. [Xem thêm phần hướng dẫn nếu bạn không thấy GraphFunc hiển thị trên duyệt trình]. Các hình tròn được đánh theo số thứ tự từ 1 tới 7 là các bước cần phải thao tác như sau:
1. Gõ cú pháp x^2 + 1 cho hàm
2. Bấm nút Vẽ Hàm để vẽ hàm số và đồ thị được vẽ bên tay phải có đường cong parabol mầu xanh.
3. Bấm nút Tiếp Tuyến, một hộp của sổ đối thoại được hiển thị phía bên phải của hình [bên trong được đánh số từ 4 tới 6].
4. Gõ giá trị 1 vào ô trống ngụ ý tìm tiếp tuyết tại điểm x = 1.
5. Bấm nút Tìm để tìm phương trình tiếp tuyến. Và kết quả thu được là: Y = 2.0X + 0.0 .
6. Bấm nút Vẽ Tiếp Tuyến & Đóng để đóng hộp đối thoại.
7. Đường tiếp tuyến được vẽ [mầu hồng].
Hình 2.
Ví dụ 2: Cho hàm số
Ta lấy đạo hàm
f[2] = 8 – 8 + 2 – 1 = 1 và
f’[2] = 12 – 8 + 1 = 5.
Vậy đường thẳng tiếp tuyến với f[x] tại x = 2 là:
y – 1 = 5[x – 2] => y = 5x - 9.
Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả
Làm theo chỉ dẫn trong Ví Dụ 1 để kiểm chứng, và kết quả được miêu tả trong Hình 3.
Hình 3.
Ví dụ 3: Cho hàm số
Cách giải bài này giống như Ví Dụ 2, nhưng hệ số góc cho đường thẳng pháp tuyến được tính:
Và đường thẳng pháp tuyến với f[x]
tại x = 2 là:
Sử dụng GraphFunc trực tuyến để kiểm chứng kết quả
Các thao tác thực hiện như chỉ dẫn trong Ví Dụ 1. Chỉ có một điểm khác biệt là bạn chú ý chọn Pháp Tuyến từ hộp thanh kéo [tại đường tròn số 1] trước khi bấm nút Tìm. Kết quả được mô ta trong Hình 4.
Hình 4.
Nếu bạn muốn vẽ đường tiếp tuyến chung với pháp tuyến này, bạn nên dùng chức năng vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc [bạn cần bấm mục Chọn Nhiều Hàm từ thanh kéo]. Dựa vào phương trình tiếp tuyến vừa mới tính được ở Ví Dụ 2, GraphFunc vẽ đồ thị như được mô tả trong Hình 5.
Hình 5.
Để vẽ được như Hình 5, bạn cần phải cho phương trình tiếp tuyến y = 5x –9 vào ô có nhãn hiệu f2[x], và phương trình pháp tuyến y = -0.2x + 1.4 vào ô có nhãn hiệu f3[x]. Sau đó bấm nút vẽ Vẽ Hàm và hình đồ thị được hiển thị bên trái của Hình 5. Mầu của mỗi đường cong hay đường thẳng trên đồ thị đều dựa vào các mầu trên ô vuông tại chỗ mà hàm số được viết vào. Để biết thêm cách dùng một số chức năng khác mà GraphFunc hỗ trợ, bạn nên tham khảo phần hướng dẫn.
Trở về Toán Trực Tuyến
Copyright 2005- //toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights
reserved. Contact us.
Ghi rõ nguồn "//toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn đăng
lại thông tin từ website này.