Cách tìm tiệm cận xiên toán cao cấp
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH IBÀI 7: CỰC TRỊ VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐTHS – LỜI GIẢIBài 1: Show 1.2 2 x(x 2) y (x x 1) − + =+ +.min max 8y y( 2) , y y(0) 4 3 \= − = = =.Các em tự lập BBT nhé. 2.4 2 x(3x 2) y 5(x (x 1)) + =+. 5cd ct 2 4y y( ) , y y(0) 0 3 27 −\= = = =.
1 3 ln 2 y y( ) , y y(1) 1 2 4 2 \= = + = =.4.3 3 2 1 1y 3 x x 2 = + − .3 ycd = y(1) = 2, yct = y(0) = y(2) = 4. 5.3 2y 2 x = +.cd ct y = y( 1)− = 1, y = y(0) = 0. 9.2 1 2sin x y (2 sin x) + = −+. ct cd 7 π 3 11π 3 y y( ) , y y( ) 6 3 6 3 −\= = = =.10.+ =+2 3/ 2 x 2 y (x 1) . = − = −ct y y( 2) 5. Bài 2: +− =+2 2 1 x y 1 x . y = 0 x = 1. + = = =[0; 3 ] min y min y(0),y(1),y( 3) y(0) 0. + = = = −[0; 3 ] π max y max y(0),y(1),y( 3) y(1) 1 2 .Bài 3: +− =x 2 e (x 1) y x . y = 0 x = 1. + = = =[1;2] min y min y(1),y(2) y(1) e. + = = =2 [1;2] e max y max y(1),y(2) y(2) 2 .Bài 4: Biểu diễn các điểm trên đồ thị như hình vẽ. Tọa độ các điểm lần lượt là − + + 2 1 1 1 A(x , x 2x 4), − + +2 2 2 2 2 1 B(x , x 2x 4),C(x ,0),D(x ,0). Để ABCD là hình chữ nhật thì − + + = − + + + = 2 2 1 1 2 2 1 2 x 2x 4 x 2x 4 x x 2. Để A và B có tung độ dương thì − + 1 2 1 5 x x 1 5. Diện tích hình chữ nhật ABCD là = − − + + = − − − + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S (x x )( x 2x 4) (2 x ) x ( x 2x 4) \= − − + + =2 (2 2x )( 1 x 1 2x 1 4) S(x ) 1. Khảo sát hàm số 1 S(x ) trên khoảngD = (1 − 5 ;1 + 5 ) ta có −\= =D 3 15 20 15maxS S( ) 3 9 .Bài 5: Máng là lăng trụ đứng có chiều cao 3m, vậy thể tích của máng sẽ lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất. \= + = +1 1S(φ) .(10 sinφ).(20 20cosφ) 100(sinφ sin 2φ) 2 2 , π 0 φ 2 .Khảo sát hàm số S(φ) trên đoạn \= π D 0; 2 ta có = = D π maxS S( ) 75 3 3 (cm 2 ). Vậy thể tích máng lớn nhất khi = π φ 3 .Bài 6: x 25 m 25 m
2x x x y ln(1 e ) lim lim 0 x x − →+ →+ +\= = ;2x 2x 2x x x x y ln(1 e ) 2e / (1 e ) lim lim lim x x 1 − − − →− →− →− + − +\= = (quy tắc L'Hospital) x 2x 2lim 2 2 1 e →− − \= − + = − + .Vậy xét 2x t x x t lim ( y 2x) lim ln(1 e ) 2x lim ln(1 e ) t − →− →− →+ + = + + = + − (đặt t = −2x ) t t t t t t 1 e lim ln(1 e ) ln e lim ln ln1 0 →+ →+ e + \= + − = = = .Vậy đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
-2 x x 2 t 0 2020 sin 2020t lim y lim x sin lim x t → → → \= = (đặt 1t x \= )2 t 0 2020t lim t → \= (thay thế tương đương) = . Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. -2 x 0 x 0 2020lim y lim x sin 0 → → x \= = (dùng giới hạn kẹp) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. -x x t 0 y 2020 sin 2020t lim lim x sin lim → x → x → t \= = (đặt 1t x \= )t 0 2020t lim 2020 → t \= = đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Lại xét 2 x x t 0 2 2020 sin 2020t 2020 lim (y 2020x) lim (x sin 2020x) lim → → x → t t − = − = − 2 t 0 2 t 0 t 0 sin 2020t 2020t 2020cos2020t 2020 2020 sin 2020t lim lim lim 0 → t → 2t → 2 − − −\= = =.Vậy đường thẳng y = 2020x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
y(t) tiến tới . Ở bài này ta thấy ngay đó là xét giới hạn khi t → − 1. Ta có: t ( 1) t ( 1) lim x(t) ; lim y(t) → − → − \= = . Vậy đường cong có thể có tiệm cận xiên. Xét: 2 t 1 t 1 y(t) 2020t lim lim 1 →− x(t) →− 2020t \= = − ;2 t 1 t 1 3 t 1 2 2020(t t) 2020t 2020 lim y(t) x(t) lim lim →− →− t 1 →−t t 1 3 + − + = = = + − +.Vậy tiệm cận xiên của đường cong là đường thẳng 2020y x 3 \= − −.
2 x x 2 x 2 y x x lim lim lim 1 → x → x 3 → x 3 \= = =+ +.Vậy xét 2 x x 2 x 2 x 2 x x x x( x x 3) lim (y x) lim x lim x 1 lim x 3 x 3 x 3 → → → → − +− = − = − = + + +2 2 2 2 x 2 x 2 2 2 x x 2 x( x x 3) x(x (x 3)) 3x 3x lim lim lim lim 0 → x 3 → x 3( x x 3) → x .2 x →2x − + − + − −\= = = =+ + + +.Vậy đường thẳng y = xlà tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
y y lim lim arc cot x 0; lim lim arc cot x π →+ x →+ →− x →− \= = = =.Vậy xét x x x lim (y πx) lim (xarc cot x πx) lim x(arc cot x π) →− →− →− − = − = − (giới hạn dạng 0. ) 2 x x 2 arc cot x π 1/ (x 1) lim lim →− 1/ x →− 1/ x − − +\= =−(quy tắc L'Hospital)= 1. Vậy đường thẳng y = πx + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
lim x(t) ; lim y(t) 3 →− →− \= = đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đường cong.
lim x(t) 1; lim y(t) → → \= = + đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đường cong. Dễ thấy x(t) và y(t) không thể cùng tiến tới nên đường cong không có tiệm cận xiên. Vậy đường cong có TCN y = 3 và TCĐ x = 1.
3 2 t 1 t 1 3 t 1 t 1 t t lim x(t) lim ;lim y(t) lim 1 → → 1 t → → t \= = = = − −. Vậy đường cong có thể có tiệm cận xiên. Xét: 2 3 2 t 1 t 1 3 t 1 y(t) t (1 t ) t t 1 lim lim lim 3 → x(t) → t (1 t) → t − + +\= = =−2 3 4 3 2 2 t 1 t 1 3 t 1 3 t 1 2 t 3t t 2t t t (1 t) lim y(t) 3x(t) lim lim lim 0 → → 1 t 1 t → 1 t → t t 1 − + − − = − = = = − − − + +.Vậy đường thẳng y = 3xlà tiệm cận xiên của đường cong. 13.
2lim y lim x arccot x → → \= = đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
2lim y lim x arccot 0 → → x \= = (sử dụng nguyên lý kẹp) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
y 2 π lim lim arccot → x → x 2 \= = đồ thị hàm số có thể có tiệm cận xiên. Ta có: x x x π 2 π 2 π lim y x lim x arccot x lim x arccot → 2 → x 2 → x 2 − = − = − (giới hạn 0. ) 2 2 x x 2 2 π 1 2 arccot. x 2 1 (2 / x) x lim lim 2 → 1 / x → 1 / x − − − + \= = = −−(quy tắc L'Hospital) Vậy đường thẳng π y x 2 2 \= − là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 14.
ln x 1/ x lim y lim lim 0 →+ →+ x →+ 1 \= = = (quy tắc L'Hospital). đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
x 0 x 0 ln x lim y lim x → + →+ \= = − (chú ý đây là giới hạn 0 ,không phải dạng vô định). đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng.
y ln x 1/ x lim lim lim 0 →+ x →+ x →+ 2x \= = = đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
3 x x lim y lim 1 x → → \= + = nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
3 3 3 3 x x x y x 1 x lim lim lim 1 → x → x → x +\= = = đồ thị hàm số có thể có tiệm cận xiên. Ta có: 3 3 3 3 x x x 2 3 3 3 3 2 x 1 x lim (y x) lim ( x 1 x) lim 0 x 1 x x 1 x → → → + −− = + − = =+ + + +.Vậy đường thẳng y = xlà tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
|
