KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 7: CỰC TRỊ VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐTHS – LỜI GIẢI
Bài 1:
1.
2 2
x[x 2] y [x x 1]
− +
=
+ +
.
min max
8
y y[ 2] , y y[0] 4 3
\= − = = =.
Các em tự lập BBT nhé.
2.
4 2
x[3x 2] y
5[x [x 1]]
+
=
+
. 5
cd ct
2 4
y y[ ] , y y[0] 0 3 27
−
\= = = =.
- y = [4x − 2]ln x. cd ct
1 3 ln 2 y y[ ] , y y[1] 1 2 4 2
\= = + = =.
4.
3 3
2 1 1
y 3 x x 2
= +
−
.
3 ycd = y[1] = 2, yct = y[0] = y[2] = 4.
5.
3
2
y 2
x
= +.
cd ct
y = y[ 1]− = 1, y = y[0] = 0.
9.
2
1 2sin x y [2 sin x]
+
= −
+
. ct cd
7 π 3 11π 3 y y[ ] , y y[ ] 6 3 6 3
−
\= = = =.
10.
+
=
+
2 3/ 2
x 2 y [x 1]
. = − = −
ct
y y[ 2] 5.
Bài 2:
+
−
=
+
2
2
1 x y 1 x
. y = 0 x = 1.
+ = = =
[0; 3 ]
min y min y[0],y[1],y[ 3] y[0] 0.
+ = = = −
[0; 3 ]
π max y max y[0],y[1],y[ 3] y[1] 1 2
.
Bài 3:
+
−
=
x
2
e [x 1] y x
. y = 0 x = 1.
+ = = =
[1;2]
min y min y[1],y[2] y[1] e.
+ = = =
2
[1;2]
e max y max y[1],y[2] y[2] 2
.
Bài 4:
Biểu diễn các điểm trên đồ thị như hình vẽ. Tọa độ các điểm lần lượt là − + +
2 1 1 1
A[x , x 2x 4],
− + +
2 2 2 2 2 1
B[x , x 2x 4],C[x ,0],D[x ,0].
Để ABCD là hình chữ nhật thì − + + = − + + + =
2 2 1 1 2 2 1 2
x 2x 4 x 2x 4 x x 2.
Để A và B có tung độ dương thì − + 1 2
1 5 x x 1 5.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là = − − + + = − − − + +
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
S [x x ][ x 2x 4] [2 x ] x [ x 2x 4]
\= − − + + =
2 [2 2x ][ 1 x 1 2x 1 4] S[x ] 1.
Khảo sát hàm số 1
S[x ] trên khoảngD = [1 − 5 ;1 + 5 ] ta có
−
\= =
D
3 15 20 15
maxS S[ ] 3 9
.
Bài 5:
Máng là lăng trụ đứng có chiều cao 3m, vậy thể tích của máng sẽ lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.
\= + = +
1 1
S[φ] .[10 sinφ].[20 20cosφ] 100[sinφ sin 2φ] 2 2
,
π 0 φ 2
.
Khảo sát hàm số S[φ] trên đoạn
\=
π D 0; 2 ta có = = D
π maxS S[ ] 75 3 3
[cm
2 ].
Vậy thể tích máng lớn nhất khi =
π φ 3
.
Bài 6:
x
25 m
25 m
- Ta có:
2x
x x
y ln[1 e ] lim lim 0 x x
−
→+ →+
+
\= = ;
2x 2x 2x
x x x
y ln[1 e ] 2e / [1 e ] lim lim lim x x 1
− − −
→− →− →−
+ − +
\= = [quy tắc
L'Hospital] x 2x
2
lim 2 2 1 e →− −
\= − + = −
+
.
Vậy xét
2x t
x x t
lim [ y 2x] lim ln[1 e ] 2x lim ln[1 e ] t
−
→− →− →+
+ = + + = + −
[đặt t = −2x ]
t t t
t t t
1 e lim ln[1 e ] ln e lim ln ln1 0 →+ →+ e
+
\= + − = = =
.
Vậy đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Ta có:
-
2
x x 2 t 0
2020 sin 2020t lim y lim x sin lim x t → → →
\= = [đặt
1
t x
\= ]
2 t 0
2020t lim t →
\= [thay thế tương đương] = .
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
-
2
x 0 x 0
2020
lim y lim x sin 0 → → x
\= =
[dùng giới hạn kẹp] đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
-
x x t 0
y 2020 sin 2020t lim lim x sin lim → x → x → t
\= = [đặt
1
t x
\= ]
t 0
2020t lim 2020 → t
\= = đồ thị hàm số có tiệm cận xiên.
Lại xét
2
x x t 0 2
2020 sin 2020t 2020 lim [y 2020x] lim [x sin 2020x] lim → → x → t t
− = − = −
2
t 0 2 t 0 t 0
sin 2020t 2020t 2020cos2020t 2020 2020 sin 2020t lim lim lim 0 → t → 2t → 2
− − −
\= = =.
Vậy đường thẳng y = 2020x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Kinh nghiệm để tìm tiệm cận của đường cong tham số là tìm giới hạn tại những điểm làm cho x[t] hoặc
y[t] tiến tới . Ở bài này ta thấy ngay đó là xét giới hạn khi t → − 1.
Ta có: t [ 1] t [ 1]
lim x[t] ; lim y[t] → − → −
\= = . Vậy đường cong có thể có tiệm cận xiên.
Xét:
2
t 1 t 1
y[t] 2020t lim lim 1 →− x[t] →− 2020t
\= = − ;
2
t 1 t 1 3 t 1 2
2020[t t] 2020t 2020 lim y[t] x[t] lim lim →− →− t 1 →−t t 1 3
+ −
+ = = =
+ − +
.
Vậy tiệm cận xiên của đường cong là đường thẳng
2020
y x 3
\= − −.
- Ta có:
2
x x 2 x 2
y x x lim lim lim 1 → x → x 3 → x 3
\= = =
+ +
.
Vậy xét
2
x x 2 x 2 x 2
x x x x[ x x 3] lim [y x] lim x lim x 1 lim
x 3 x 3 x 3
→ → → →
− +
− = − = − =
+ + +
2 2 2 2
x 2 x 2 2 2 x x 2
x[ x x 3] x[x [x 3]] 3x 3x lim lim lim lim 0 → x 3 → x 3[ x x 3] → x .2 x →2x
− + − + − −
\= = = =
+ + + +
.
Vậy đường thẳng y = xlà tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Ta có: x x x x
y y lim lim arc cot x 0; lim lim arc cot x π →+ x →+ →− x →−
\= = = =.
Vậy xét x x x
lim [y πx] lim [xarc cot x πx] lim x[arc cot x π] →− →− →−
− = − = − [giới hạn dạng 0. ]
2
x x 2
arc cot x π 1/ [x 1] lim lim →− 1/ x →− 1/ x
− − +
\= =
−
[quy tắc L'Hospital]= 1.
Vậy đường thẳng y = πx + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Dễ thấy để x[t] hoặc y[t] tiến tới thì t → − 1 hoặc t → . Vậy ta xét:
- Khi t → − 1 : t 1 t 1
lim x[t] ; lim y[t] 3 →− →−
\= = đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đường cong.
- Khi t → : t t
lim x[t] 1; lim y[t] → →
\= = + đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đường cong.
Dễ thấy x[t] và y[t] không thể cùng tiến tới nên đường cong không có tiệm cận xiên.
Vậy đường cong có TCN y = 3 và TCĐ x = 1.
- Xét t → 1 ta có:
3 2
t 1 t 1 3 t 1 t 1
t t lim x[t] lim ;lim y[t] lim 1 → → 1 t → → t
\= = = =
− −
. Vậy đường cong có thể có tiệm cận
xiên.
Xét:
2 3 2
t 1 t 1 3 t 1
y[t] t [1 t ] t t 1 lim lim lim 3 → x[t] → t [1 t] → t
− + +
\= = =
−
2 3 4 3 2 2
t 1 t 1 3 t 1 3 t 1 2
t 3t t 2t t t [1 t] lim y[t] 3x[t] lim lim lim 0 → → 1 t 1 t → 1 t → t t 1
− + −
− = − = = =
− − − + +
.
Vậy đường thẳng y = 3xlà tiệm cận xiên của đường cong.
13.
- Ta có: x x
2
lim y lim x arccot x → →
\= =
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- Xét x 0 x 0
2
lim y lim x arccot 0 → → x
\= =
[sử dụng nguyên lý kẹp] đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- Xét x x
y 2 π lim lim arccot → x → x 2
\= =
đồ thị hàm số có thể có tiệm cận xiên.
Ta có: x x x
π 2 π 2 π lim y x lim x arccot x lim x arccot → 2 → x 2 → x 2
− = − = −
[giới hạn 0. ]
2 2
x x 2
2 π 1 2 arccot. x 2 1 [2 / x] x lim lim 2 → 1 / x → 1 / x
− −
−
+
\= = = −
−
[quy tắc L'Hospital]
Vậy đường thẳng
π y x 2 2
\= − là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
14.
- Ta có x x x
ln x 1/ x lim y lim lim 0 →+ →+ x →+ 1
\= = = [quy tắc L'Hospital].
đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
- Xét
x 0 x 0
ln x lim y lim x → + →+
\= = − [chú ý đây là giới hạn 0
,không phải dạng vô định].
đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng.
- Xét x x 2 x
y ln x 1/ x lim lim lim 0 →+ x →+ x →+ 2x
\= = = đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
- * Dễ thấy hàm số liên tục trên nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- Dễ thấy
3
x x
lim y lim 1 x → →
\= + = nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- Xét
3 3 3 3
x x x
y x 1 x lim lim lim 1 → x → x → x
+
\= = = đồ thị hàm số có thể có tiệm cận xiên.
Ta có:
3 3 3 3
x x x 2 3 3 3 3 2
x 1 x lim [y x] lim [ x 1 x] lim 0
x 1 x x 1 x
→ → →
+ −
− = + − = =
+ + + +
.
Vậy đường thẳng y = xlà tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Đường cong tham số này chính là đồ thị hàm số y = x + 2arctan x. Các em làm tương tự câu 11 nhé.