Cách tính giá trị lượng giác của góc

  • Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn có tâm $ O(0;0)$, bán kính bằng $ 1$ và đi qua các điểm $ A(1;0), B(0;1), A'(-1;0)$.

1.2. Giá trị lượng giác của một góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$

  • Với mỗi góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ thì có đúng một điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$. Ngược lại, với mỗi điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị thì tồn tại đúng một góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$.
  • Giả sử điểm $ M$ có tọa độ $ M(x_0;y_0)$ thì chúng ta định nghĩa:
    • $ \sin \alpha =y_0$;
    • $ \cos \alpha = x_0$;
    • $ \tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin x}{\cos x}$ nếu $ x_0\ne 0$;
    • $ \cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}=\frac{\cos x}{\sin x}$ nếu $ y_0\ne 0$.

Trục hoành – trục nằm ngang – còn được gọi là trục cos, trục tung – trục thẳng đứng – còn được gọi là trục sin.

1.3. Tính chất của giá trị lượng giác

  • Nếu $ a+b=180^\circ$ (hai góc bù nhau) thì \begin{align} \sin a =\sin b,\\ \cos a = -\cos b,\\ \tan a =-\tan b, \\ \cot a =-\cot b.\end{align}
  • Các hệ thức lượng giác cơ bản:
    • $ \sin^2x+\cos^2x =1$
    • $ \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$
    • $ \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$
    • $ \tan x \cdot \cot x =1$

1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 1. Cho $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

Bài 2. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha =3$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $90^\circ <\alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.

Bài 4. Cho $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

Bài 5. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha = 2\sqrt{2}$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

Bài 6. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$A=\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha}{2\sin \alpha+\cos \alpha}$$

Bài 7. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$T=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha}{\sin^3 \alpha+3\cos^3 \alpha+2\sin \alpha}$$

Bài 8. Biết $\sin \alpha = \frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $$B=\frac{\cot \alpha -\tan \alpha}{\cot \alpha+2\tan \alpha}$$

Bài 9. Cho $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$. Chứng minh rằng:

  1. $(\sin \alpha +\cos \alpha)^2=1+2\sin \alpha\cos \alpha$.
  2. $(\sin \alpha -\cos \alpha)^2=1-2\sin \alpha\cos \alpha$.
  3. $\sin^4 \alpha +\cos^4 \alpha=1-2 \sin^2 \alpha\cos^2 \alpha$.
  4. $\sin^4 \alpha -\cos^4 \alpha=2\sin^2 \alpha -1$.
  5. $\sin^6 \alpha+\cos^6 \alpha = 1-3\sin^2 \alpha\cos^2 \alpha$.
  6. $\sin \alpha\cos\alpha (1+\tan \alpha)(1+\cot\alpha)=1+2\sin \alpha\cos \alpha$.

Bài 10. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không phụ thuộc $\alpha$

  • $A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^2+(\sin \alpha -\cos \alpha)^2$.
  • $B=\sin^4 \alpha-\cos^4 \alpha -2\sin^2 \alpha +1$.

Xem thêm Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°

11:09:2610/03/2021

Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về giá trị lượng giác của cung α? các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. Vận dụng lý thuyết giải một số bài tập cơ bản.

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một cung

I. Giá trị lượng giác của cung α.

Cách tính giá trị lượng giác của góc
1. Định nghĩa

• Trên đường tròn lượng giác cung 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 có số đo sđ 
Cách tính giá trị lượng giác của góc
 thì:

- Tung độ của M gọi là sin của α ký hiệu sinα: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Hoành độ của M gọi là cosin của α ký hiệu cosα: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Nếu cosα ≠ 0, ta gọi là tang của α, ký hiệu tanα là tỉ số: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Nếu sinα ≠ 0, ta gọi là cotang của α, ký hiệu cotα là tỉ số: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

⇒ Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.

> Lưu ý: vì sđ

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 = sđ
Cách tính giá trị lượng giác của góc
 nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác α cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác α.

2. Hệ quả

a) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:

 sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z;

 cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z;

b) Vì 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 nên:

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

c) tanα xác định với mọi 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
  

 cotα xác định với mọi 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

d) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Cách tính giá trị lượng giác của góc
e) Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

Cách tính giá trị lượng giác của góc

II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

- Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

Cách tính giá trị lượng giác của góc

2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: α và -α

 cos(-α) = cosα

 sin(-α) = -sinα

 tan(-α) = -tanα

 cot(-α) = -cotα

b) Cung bù nhau: α và π-α

 sin(π-α) = sinα

 cos(π-α) = -cosα

 tan(π-α) = -tanα

 cot(π-α) = -cotα.

c) Cung hơn kém nhau π: α và α+π

 sin(α+π) = -sinα

 cos(α+π) = -cosα

 tan(α+π) = tanα

 cot(α+π) = cotα.

d) Cung phụ nhau π: α và π/2 - α

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

> Gợi ý cách ghi nhớ: 

- Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dươngcung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau:  cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi (π) tan (Cot)

B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung

Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) -0,7;         b) 4/3;          c) –√2         d) (√5)/2;

* Lời giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.

+ Cách dựng:

 Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 Khi đó với α = sđ
Cách tính giá trị lượng giác của góc
 hoặc α = sđ
Cách tính giá trị lượng giác của góc
 khi đó, theo định nghĩa 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

Cách tính giá trị lượng giác của góc

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.

c) Vì (-√2) < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.

d) Vì (√5)/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.

Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?

a) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

b) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

* Lời giải:

- Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1, ∀α ∈ R.

a)

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Ta có: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
Cách tính giá trị lượng giác của góc

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

b) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Ta có: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

Do đó TỒN TẠI α ∈ R để 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

- Ta có: 0,72 + 0,32 = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3

Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.

a) sin(α – π)          b) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

c) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
          d) 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

* Lời giải:

- Vì 0 < α < π/2 (góc phần tư thứ I) nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin(α – π) = -sin(π – α) (áp dụng công thức sin(-α) = -sinα)

= -sinα (áp dụng công thức sin (π – α) = sinα).

 b) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
Cách tính giá trị lượng giác của góc
=-sinα

(áp dụng công thức cos(π + α)=-cosα và công thức cos(π/2 - α) = sinα)

Mà sinα > 0 nên suy ra 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
<0

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

d) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

(áp dụng công thức  

Cách tính giá trị lượng giác của góc
và công thức tan(-α) = -tan α).

Mà  tanα > 0 nên 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
<0

* Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác. Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 như trên hình vẽ.

Cách tính giá trị lượng giác của góc

a) α – π = sđ

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 nên suy ra  
Cách tính giá trị lượng giác của góc

Các em làm tương tự các câu còn lại.

Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

a) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

b) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

c) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

d) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

* Lời giải:

a) 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 và 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

- Áp dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

 

Cách tính giá trị lượng giác của góc
 
Cách tính giá trị lượng giác của góc

Mà 0<α<π/2 nên sinα > 0 nên 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

+ Ta có:  

Cách tính giá trị lượng giác của góc
Cách tính giá trị lượng giác của góc

+ Ta có: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

b) Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

Tính tương tự câu a)

c) Vận dụng công thức: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

d) Vận dụng công thức: 

Cách tính giá trị lượng giác của góc

Bài 5 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính α, biết

a) cosα = 1;          b) cosα = -1;          c) cosα = 0

d) sinα = 1;         e) sinα = -1;          f) sinα = 0

* Lời giải:

- Dựa vào đường tròn lượng giác:

Cách tính giá trị lượng giác của góc
a) cosα = 1 ⇔ M≡A ⇔ α = k2π, k ∈ Z.

b) cosα = -1 ⇔ M≡A' ⇔ α = π + k2π = (2k + 1)π, k ∈ Z.

c) cosα = 0 ⇔ M≡B hoặc M≡B' ⇔ α = π/2 + m2π hoặc α = -π/2 + n2π 

 ⇔ α = π/2 + kπ, k ∈ Z.

d) sinα = 1 ⇔ M≡B ⇔ α = π/2 + k2π, k ∈ Z.

e) sinα = -1 ⇔ M≡B' ⇔ α = -π/2 + k2π = (2k+1)π, k ∈ Z.

f) sinα = 0 ⇔ M≡A hoặc M≡A' ⇔ α = m2π hoặc α = (2n + 1)π 

 ⇔ α = kπ, k ∈ Z.

Tóm lại, với bài viết về Giá trị lượng giác của một cung các em có rất nhiều nội dung cần phải ghi nhớ, đó là các công thức lượng giác cơ bản; giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (cung đối nhau, cung bù, cung phụ, cung hơn kém pi,..).