Câu 4.39 trang 140 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x\)

Phương pháp giải:

Lấy hai dãy số\(({x_n})\)và\((x{'_n})\)với\({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}.\)

Tìm\(\lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).\)

Lời giải chi tiết:

Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\)

\({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}\) (như trong hướng dẫn).

Khi đó \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(\lim x{'_n} = + \infty \);

\(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0\) và

\(\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.\)

Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)

Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với

\({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},\)

Ta có \(\lim {x_n} = + \infty \) và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr
- 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự như câu a) không tồn tại\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\)

Phương pháp giải:

Chọn dãy số\(({x_n})\)sao cho\({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\)Tìm\(\lim {x_n}\)và\(\lim f({x_n}).\)

Lời giải chi tiết:

Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho
\({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\)

Khi đó \(\lim {x_n} = 0\) và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr
- 1\text{ với nlẻ} \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\);

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)