Cho phương trình x2 m 2x + m = 0 giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là

Bài 21:  Cho phương trình ${{x}^{4}}-({{m}^{2}}+4m){{x}^{2}}+7m-1=0$. Định $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Hướng dẫn giải

Đặt  $X={{x}^{2}}\left( X\ge 0 \right)$

Phương trình trở thành ${{X}^{4}}-({{m}^{2}}+4m){{X}^{2}}+7m-1=0$ (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương         

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta  > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {({m^2} + 4m)^2} - 4(7m - 1) > 0\\ {m^2} + 4m > 0\\ 7m - 1 > 0

\end{array} \right.$(I)     

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương ${{X}_{1}}$, ${{X}_{2}}$.

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm 

${{x}_{1,2}}=\pm \sqrt{{{X}_{1}}}$ ;

${{x}_{3,4}}=\pm \sqrt{{{X}_{2}}}$

$\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2({{X}_{1}}+{{X}_{2}})=2({{m}^{2}}+4m)$

Vậy ta có $2({m^2} + 4m) = 10 \Rightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m =  - 5

\end{array} \right.$

Với $m=1$, (I) thỏa mãn

Với  $m=-5$, (I) không thỏa mãn.     

Vậy  $m=1$ là giá trị cần tìm.

Bài 22:Cho phương trình:${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+m-6=0\quad \left( * \right)$

a) Tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

c) Tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \right|=50$.

Hướng dẫn giải

a) $\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m-6 \right)=25>0$$\Leftrightarrow 25>0$ với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b) Theo Vi-et ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 6}\\ {{x_1} + {x_2} = 2m + 1}

\end{array}} \right.$

Để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm âm thì:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}.{x_2} > 0}\\ {{x_1} + {x_2} < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + m - 6 > 0}\\ {2m + 1 < 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m <  - 3{\rm{ }}ho{\rm{a}}c{\rm{ }}m > 2}\\ {m <  - \frac{1}{2}}

\end{array}} \right. \Leftrightarrow m <  - 3$

Vậy với $m<-3$ thì phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm âm.

c) Với $\Delta =25$ suy ra ${{x}_{1}}=m-2;{{x}_{2}}=m+3$

Theo giả thiết, ta có: $\left| x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \right|=50$ $\Leftrightarrow \left| {{\left( m-2 \right)}^{3}}-{{\left( m+3 \right)}^{3}} \right|=50$ $\Leftrightarrow \left| 5\left( 3{{m}^{2}}+3m+7 \right) \right|=50$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-1=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {{m_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}}

\end{array}} \right.$

Bài 23: Cho phương trình: $2{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-1=0$

 a) Giải phương trình khi $m=2$ .

 b) Tìm $m$  để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$

 c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$.

 d) Với giá trị nào của $m$ thì ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ cùng dương.

Hướng dẫn giải

a) Với $m=2$ phương trình trở thành

$2{{x}^{2}}+3x+1=0$. Ta có $a-b+c=2-3+1=0$ . Vậy phương trình có 2 nghiệm

${{x}_{1}}=-1;$ ${{x}_{2}}=\frac{-c}{a}=\frac{-1}{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ -1;-\frac{1}{2} \right\}$

b) Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.2.\left( m-1 \right)$

$=4{{m}^{2}}-12m+9={{\left( 2m-3 \right)}^{2}}$

Vì ${{\left( 2m-3 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi $m$ nên $\Delta \ge 0$ với mọi $m$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ với mọi $m$

Theo hệ thức Vi-et ta có :

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)

\end{array} \right.$

Kết hợp $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$ và (1) ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\\ 3{x_1} - 4{x_2} = 11 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{x_1} + 4{x_2} = 2\left( {1 - 2m} \right)\\ 3{x_1} - 4{x_2} = 11 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{13 - 4m}}{7}\\ {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{13 - 4m}}{7}\\ {x_2} = \frac{{ - 19 - 6m}}{{14}}

\end{array} \right.$

Thay ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ vào pt (2) ta có

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2}$

$\Rightarrow \frac{13-4m}{7}.\frac{-19-6m}{14}=\frac{m-1}{2}$

$\Leftrightarrow 24{{m}^{2}}-51m-198=0$

$\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-17m-66=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m =  - 2\\ m = \frac{{33}}{8}

\end{array} \right.\left( {TM} \right)$. Vậy $m \in \left\{ { - 2;\frac{{33}}{8}} \right\}$

c) Theo Vi-et ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\\ {x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m\\ 2{x_1}{x_2} = m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m\\ 4{x_1}{x_2} = 2m - 2

\end{array} \right.$

$\Rightarrow 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1$

Vậy hệ thức liên hệ  $2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1$ có giá trị không phụ thuộc vào $m$.

d) Theo câu b phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$

Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} > 0\\ {x_1}{x_2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 - 2m}}{2} > 0\\ \frac{{m - 1}}{2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2m > 0\\ m - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{1}{2}\\ m > 1

\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có hai nghiệm dương.

Bài 24: Cho phương trình bậc hai:  ${{x}^{2}}+\text{ }2(m-1)x-\text{ }(m+\text{ }1)=\text{ }0\text{ }\left( 1 \right)$

a) Tìm giá trị $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$có một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$.

b) Tìm giá trị $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$có hai nghiệm đều nhỏ hơn $2$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\Delta '={{(m-1)}^{2}}+m+1={{(m-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{7}{4}>0,\forall m.$ Nên phương trình (1) luôn có hai  nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có

 $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 1} \right)\\ {x_1}.{x_2} =  - \left( {m + 1} \right)

\end{array} \right.$

Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn$1$ , một nghiệm nhỏ hơn $1$ thì $\left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1<0$

$\Leftrightarrow -\left( m+1 \right)+2\left( m-1 \right)+1<0$

$\Leftrightarrow m<2$

Cách 2: Đặt $\text{y }=\text{ x }-1\Rightarrow x=y+1$ thì phương trình (1) trở thành:

${{\left( y\text{ + }1 \right)}^{2}}+\text{ }2(m-1)\left( y\text{ + }1 \right)\text{ }-\text{ }(m+\text{ }1)=\text{ }0$

$\Leftrightarrow \text{ }{{y}^{2}}+\text{ }2m.y\text{ + }m-\text{ }2=\text{ }0\text{ }(2)$

Để phương trình (1) có một nghiệm ${{x}_{1}}$ lớn hơn$1$ , một nghiệm ${{x}_{2}}$ nhỏ hơn $1$ thì phương trình (2) có hai nghiệm ${{y}_{1}};{{y}_{2}}$ trái dấu $\Leftrightarrow m-2<0$$\Leftrightarrow $ $m<2$

b)

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\\ {x_1} - 2 + {x_2} - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\\ {x_1} + {x_2} < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{1}{3}\\ m >  - 1

\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Bài 25: Cho phương trình ${{x}^{2}}-(2m+3)x+{{m}^{2}}+3m+2=0$ $$

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định $m$ để phương trình có một nghiệm bằng$2$.Tìm nghiệm còn lại.

c) Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $-3<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<6$

d) Xác định $m$ để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\Delta ={{(2m+3)}^{2}}-4.1.({{m}^{2}}+3m+2)$

                   $=4{{m}^{2}}+12m+9-4{{m}^{2}}-12m-8$

                   $=1>0$

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b) Vì phương trình có một nghiệm bằng $2$ nên ta thay $x=2$ vào phương trình có:

${{2}^{2}}-(2m+3)2+{{m}^{2}}+3m+2=0$

$\Leftrightarrow 4-4m-6+{{m}^{2}}+3m+2=0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0$

$\Leftrightarrow m(m-1)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 1

\end{array} \right.$

Theo hệ thức Vi-et ta có:$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 3\\ {x_1}.{x_2} = {m^2} + 3m + 2

\end{array} \right.$ thay ${x_1} = 2$ :$\left\{ \begin{array}{l}

2 + {x_2} = 2m + 3\\ 2.{x_2} = {m^2} + 3m + 2

\end{array} \right.$

·Với $m=0$ thay vào ta có: $$\left\{ \begin{array}{l} 2 + {x_2} = 3\\ 2.{x_2} = 2

\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 1$

·Với $m\text{ }=1$ thay vào ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 2 + {x_2} = 5\\ 2.{x_2} = 6

\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 3$

c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa:$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 3\\ {x_1}.{x_2} = {m^2} + 3m + 2

\end{array} \right.$

Vì $ - 3 < {x_1} < {x_2} < 6$ nên$\left\{ \begin{array}{l}  - 3 < {x_1} < {x_2}\\ {x_1} < {x_2} < 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < {x_1} + 3 < {x_2} + 3\\ {x_1} - 6 < {x_2} - 6 < 0

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ({x_1} + 3) + ({x_2} + 3) > 0\\ ({x_1} + 3)({x_2} + 3) > 0\\ ({x_1} - 6) + ({x_2} - 6) < 0\\ ({x_1} - 6)({x_2} - 6) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 6 > 0\\ {x_1}.{x_2} + 3.({x_1} + {x_2}) + 9 > 0\\ {x_1} + {x_2} - 12 < 0\\ {x_1}.{x_2} - 6({x_1} + {x_2}) + 36 > 0

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m + 3 + 6 > 0\\ {m^2} + 3m + 2 + 3(2m + 3) + 9 > 0\\ 2m + 3 - 12 < 0\\ {m^2} + 3m + 2 - 6(2m + 3) + 36 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m + 9 > 0\\ {m^2} + 9m + 20 > 0\\ 2m - 9 < 0\\ {m^2} - 9m + 20 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 9}}{2}\\ (m + 4)(m + 5) > 0\\ m < \frac{9}{2}\\ (m - 4)(m - 5) > 0

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 9}}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} m <  - 5\\ m >  - 4 \end{array} \right.\\ m < \frac{9}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} m < 4\\ m > 5 \end{array} \right.

\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m < 4$

Vậy $-4

Cách 2: Ta tính $\Delta =1>0$ $\Rightarrow $  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

    $\begin{array}{l} {x_2} = \frac{{2m + 3 + 1}}{2} = m + 2\\ {x_1} = \frac{{2m + 3 - 1}}{2} = m + 1

\end{array}$

Vì $-3<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<6$ nên $-3

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + 1 >  - 3\\ m + 2 < 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m >  - 4\\ m < 4

\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m < 4$

d) Phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia :

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :${{x}_{1}}=\frac{2m+3-1}{2}=m+1$; ${{x}_{2}}=\frac{2m+3+1}{2}=m+2$

Theo yêu cầu đề toán : nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia :

Trường hợp 1:${{x}_{2}}=x_{1}^{2}\text{ }$

$\Leftrightarrow m+2={{(m+1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow m+2={{m}^{2}}+2m+1$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-1=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Trường hợp 2 : ${{x}_{1}}=x_{2}^{2}\text{ }$

$\left( m+1 \right)={{\left( m+2 \right)}^{2}}$ (*)

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4-m-1=0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m+3=0$

$\Delta <0$$\Rightarrow $ Phương trình (*) vô nghiệm.

Kết luận: $m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$là giá trị cần tìm

Bài 26:Cho phương trình $m{{x}^{2}}+2(m-2)x+m-3=0$

a) Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào $m$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

Hướng dẫn giải

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $m\ne 0$ và $a.c<0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m < 3 \end{array} \right.

\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 3$

b) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì

   $\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta  > 0\\ S < 0\\ P < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 4{(m - 2)^2} - 4m(m - 3) > 0\\ \frac{{ - 2(m - 2)}}{m} < 0\\ \frac{{m - 3}}{m} < 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m > 0\\ \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 2 \end{array} \right.\\ 0 < m < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m < 4\\ \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 2 \end{array} \right.\\ 0 < m < 3

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow 2 < m < 3$

c) Để phương trình đã cho có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $m\ne 0$ và $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\ne 0\text{ }v\grave{a}\text{ }m\le 4$

Khi đó theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2(m - 2)}}{m} =  - 2 + \frac{4}{m}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{m} = 1 - \frac{3}{m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3({x_1} + {x_2}) =  - 6 + \frac{{12}}{m}\\ 4{x_1}.{x_2} = 4 - \frac{{12}}{m}

\end{array} \right.$

$ \Rightarrow 3({x_1} + {x_2}) + 4{x_1}{x_2} =  - 2$

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào$m$ .

d) Với $m\ne 0$ và $m\le 4$ thì phương trình luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thỏa mãn

          $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2(m - 2)}}{m}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{m}

\end{array} \right.$

Ta có: $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$={{\left[ \frac{-2(m-2)}{m} \right]}^{2}}-2.\frac{m-3}{m}$

$=\frac{4({{m}^{2}}-4m+4)}{{{m}^{2}}}-\frac{2m-6}{m}$

$=\frac{4{{m}^{2}}-16m+16-2{{m}^{2}}+6m}{{{m}^{2}}}$

$=\frac{2{{m}^{2}}-10m+16}{{{m}^{2}}}$

$=2-\frac{10}{m}+\frac{16}{{{m}^{2}}}={{\left( \frac{4}{m} \right)}^{2}}-2.\frac{4}{m}.\frac{5}{4}+\frac{25}{16}+\frac{7}{16}$

$={{\left( \frac{4}{m}-\frac{5}{4} \right)}^{2}}+\frac{7}{16}\ge \frac{7}{16}$

${{A}_{\min }}=\frac{7}{16}$ . Dấu “=” xảy ra khi $\frac{4}{m}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow m=\frac{16}{5}$ (tm)

Vậy GTNN của $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ là $\frac{7}{16}$ xảy ra khi $m=\frac{16}{5}$          

Bài 27:Cho phương trình bậc hai $m{{x}^{2}}-(5m-2)x+6m-5=0$

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 5m-2 \right)x+6m-5=0$

Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì:

$\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta  > 0\\ {x_1} + {x_2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {\left( {5m - 2} \right)^2} - 4.m.\left( {6m - 5} \right) > 0\\ \frac{{5m - 2}}{m} = 0

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} + 4 > 0\\ 5m - 2 = 0

\end{array} \right.$ (luôn đúng với mọi $m$)  $ \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\,$ (thỏa mãn)

Vậy $m=\frac{2}{5}$ thì phương trình có hai nghiệm đối nhau.

b) Xét phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 5m-2 \right)x+6m-5=0$

Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:

$\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta  > 0\\ {x_1}.{x_2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {\left( {5m - 2} \right)^2} - 4.m.\left( {6m - 5} \right) > 0\\ \frac{{6m - 5}}{m} = 1

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} + 4 > 0\\ 6m - 5 = m

\end{array} \right.$ (luôn đúng với$\forall m$)  $ \Leftrightarrow m = 1\,\,$(thỏa mãn)

Vậy $m=1$ thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Bài 28:Tỉm  giá trị m để phương trình:

a) $2{{x}^{2}}+mx+m-3=0$ có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

b) ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình $2{{x}^{2}}+mx+m-3=0$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: $a.c<0\Leftrightarrow 2.(m-3)<0\Leftrightarrow m<3$ . $\left( 1 \right)$

Với $m<3$ , áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - m}}{2}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}

\end{array} \right.$

Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương suy ra :

$\left| {{x}_{1}} \right|>\left| {{x}_{2}} \right|$ trong đó ${{x}_{1}}<0\,\,;\,\,{{x}_{2}}>0$ nên $-{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow \frac{-m}{2}<0\Leftrightarrow m>0$ . $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $0

Vậy $0

Chú ý: Đề bài có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm âm.

b) ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Xét phương trình: ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$  (2) có:

($a=1;b=-2(m-1);c=m+3$)

PT (2) có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ P < 0\\ S = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ a.c < 0\\ \frac{{ - b}}{a} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 \ne 0\\ 1.(m - 3) < 0\\ \frac{{2(m - 1)}}{1} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = 1

\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$

Vậy với m = 1 thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Bài 29:Cho phương trình: ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3m=0$ (1)

a) Giải phương trình khi $m=-1.$

b) Tìm $m$ để pt (1) có nghiệm.

c) Tìm $m$ để (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=-1$

Hướng dẫn giải

a) Thay $m=-1$ vào  (1) ta có: ${{x}^{2}}+4x+4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-2$

Vậy với $m=-1$ thì phương trình có nghiệm $x=-2.$

b) Ta có: ${{\Delta }^{'}}=m+1$

Để pt (1) có nghiệm thì ${{\Delta }^{'}}\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1.$

Vậy với $m\ge -1$ thì pt (1) có nghiệm.

c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right);{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3m$

$\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=-1$

$\Leftrightarrow \,\,\,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\,\,\,\,\,\,=0$

$\Leftrightarrow 2m-2+{{m}^{2}}-3m=0$

$\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{{m}^{2}}-m-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,=0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có: $a-b+c=1-\left( -1 \right)-2=0$

Phương trình (2) có hai nghiệm ${{m}_{1}}=-1;{{m}_{2}}=2$

Vậy với $m\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1;2\}$ thì pt (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=-1$.

Bài 30:Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+4m=0$

a) Xác đinh $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó

b) Xác định $m$ để phương trình có một nghiệm bằng $4$ . Tính nghiệm còn lại.

c) Với điều kiện nào của $m$ thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

d) Với điều kiện nào cửa $m$ thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm)

e) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

f) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-2$

g) Định $m$ để PT có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho $A=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ nhận giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-1.4m={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}$

Để PT có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1$

b)$x=4$ là một nghiệm của phương trình nên ta có

$\Rightarrow {{4}^{2}}-2\left( m+1 \right).4+4m=0$

$\Leftrightarrow -4m+8=0\Leftrightarrow m=2$

Với $m=2$ phương trình trở thành

${{x}^{2}}-6x+8=0$

$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 2 = 0\\ x - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4

\end{array} \right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x=4$

c)$\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall m$

Phương trình có hai nghiệm${{x}_{1}};{{x}_{2}}$. Áp dụng đinh lý Vi-et:

$\begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 2\\ {x_1}.{x_2} = 4m

\end{array}$

- Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu$\Leftrightarrow 4m>0\Leftrightarrow m>0$

- Để phương trình có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 4m<0\Leftrightarrow m<0$

d) với $m>0$ PT có hai nghiệm cùng dấu .

TH1: ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ cùng dấu dương

$\Leftrightarrow 2m+2>0\Leftrightarrow m>-1$

Kết hợp $m>-1$với điều kiện $m>0$ $\Rightarrow m>0$

TH2: ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ cùng dấu âm

$\Leftrightarrow 2m+2<0\Leftrightarrow m<-1\,$

$m<-1$với điều kiện $m>0$

Vậy không có giá trị $m$ để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm

e)  Áp dụng đinh lý Vi-et:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2$  (*)

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4m$ (**)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: ${{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-2{{x}_{2}}=0$

Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 2\\ {x_1} - 2{x_2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_2} = \frac{{2m + 2}}{3}\\ {x_1} = 2{x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_2} = \frac{{2m + 2}}{3}\\ {x_1} = \frac{{4m + 4}}{3}

\end{array} \right.$

Thay vào phương trình (**) ta có

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4m\Leftrightarrow \frac{2(m+1).4(m+1)}{9}=4m$

$\Leftrightarrow 2{{(m+1)}^{2}}=9m$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-5m+2=0$

${{m}_{1}}=2;{{m}_{2}}=\frac{1}{2}$ . Thỏa mãn.

Vậy với ${{m}_{1}}=2;{{m}_{2}}=\frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.

f) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-2$

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} - {x_2} =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ {x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,(2)\\ {x_1}{x_2} = 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)

\end{array} \right.$

Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} 3{x_1} = 2m\\ {x_2} = 2{x_1} + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{2m}}{3}\\ {x_2} = \frac{{4m + 6}}{3}

\end{array} \right.$

Thay vào phương trình (3) ta có: $\frac{{2m}}{3}.\frac{{4m + 6}}{3} = 4m$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m=0$

$\Leftrightarrow m\left( m-3 \right)=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 3

\end{array} \right.\,$(thỏa mãn).

Vậy với m = 0 hoặc $m=\text{ }3$ thì phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-2$

g)  $A=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$=2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$=2{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-5.4m$

$=8{{m}^{2}}-4m+8$

$=8{{\left( m-\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{15}{2}\ge \frac{15}{2}\,\forall m$

$\Rightarrow {{A}_{\min }}=\frac{15}{2}$ . Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\,\,(tm)$

Vậy $m=\frac{1}{4}$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.