Chuyên đề bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình:
a. |2x - 5| x + 1.
b. |2x - 4| x + 1.
a. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - [x + 1] \le 2x - 5 \le x + 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\frac{4}{3} \le x \le 6\end{array} \right.$ $\frac{4}{3}$ x 6.
Vậy, bất phương trình có nghiệm $\frac{4}{3}$ x 6.

b. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 4 \ge x + 1\\2x - 4 \le - x - 1\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 1\end{array} \right.$.
Vậy, bất phương trình có nghiệm thuộc [-; 1][5; +].
Nhận xét: Như vậy:

• Dạng 1: Với bất phương trình: |f[x]| > g[x] $\left[ \begin{array}{l}f[x] > g[x]\\f[x] < - g[x]\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}g[x] < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g[x] \ge 0\\{f^2}[x] > {g^2}[x]\end{array} \right.\end{array} \right.$[chia khoảng].
• Dạng 2: Với bất phương trình: |f[x]| < g[x] $\left\{ \begin{array}{l}g[x] > 0\\{f^2}[x] < {g^2}[x]\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}g[x] > 0\\ - g[x] < f[x] < g[x]\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f[x] \ge 0\\f[x] < g[x]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f[x] < 0\\ - f[x] < g[x]\end{array} \right.\end{array} \right.$[chia khoảng].

Thí dụ 2. Giải phương trình:
a. $\frac{{|x - 2|}}{{{x^2} - 5x + 6}}$ 3.
b. $\frac{3}{{|x - 4| - 1}}$ = |x + 3|.
a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\\frac{1}{{x - 3}} \ge 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 < 0\\\frac{1}{{3 - x}} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\frac{{10 - 3x}}{{x - 3}} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\frac{{3x - 8}}{{3 - x}} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ 3 < x $\frac{{10}}{3}$.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 3 < x $\frac{{10}}{3}$.

b. Điều kiện: |x - 4| - 1 0 |x - 4| 1 $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ne 1\\x - 4 \ne - 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne 3\end{array} \right.$.
Lập bảng xét dấu hai biểu thức x + 3 và x - 4:

• Trường hợp 1: Với x - 3, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = - x - 3 $\frac{3}{{3 - x}}$ = - x - 3 x2 = 12 $\left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \,\,[l]\\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$.
• Trường hợp 2: Với -3 < x < 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = x + 3 $\frac{3}{{3 - x}}$ = x + 3 x2 = 6 $\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.$.
• Trường hợp 3: Với x 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{x - 4 - 1}}$ = x + 3 x2 - 2x - 18 = 0 $\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt {19} \,\,[l]\\x = 1 + \sqrt {19} \end{array} \right.$.

Vậy, phương trình có 4 nghiệm là x = - 2$\sqrt 3 $, x = ± $\sqrt 6 $ và x = 1 + $\sqrt {19} $.
Chú ý: Nhiều bài toán dựa trên điều kiện có nghĩa của phương trình ta khử được dấu trị tuyệt đối. Xét ví dụ sau:

Thí dụ 3. Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} - |x|} $ < x. [1]
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - |x| < {x^2}\end{array} \right.$ x > 0.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Thí dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình |2x - 1| x + m.
Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 1 \ge x + m\\2x - 1 \le - [x + m]\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x \ge m + 1\\x \le \frac{{1 - m}}{3}\end{array} \right.$.

• Trường hợp 1: Nếu m + 1 $\frac{{1 - m}}{3}$ m $\frac{1}{2}$. Bất phương trình có nghiệm là $S = \mathbb{R}$.
• Trường hợp 2: Nếu m + 1 > $\frac{{1 - m}}{3}$ m > $\frac{1}{2}$

Bất phương trình có nghiệm là [-; $\frac{{1 - m}}{3}$][m + 1; +].

Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức