Đăng ký
hoặc
09:23 21/10/2020
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đáy là tam giác đều, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều, Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thoi, Công thức the tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác, Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng 2a, Bài tập xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, Chuyên đề xác định tâm và bán kính mặt cầu, Phương pháp giải nhanh bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,ABC^=60∘.Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính diện tíchSmc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
1. \[SA\perp [ABCD]\Rightarrow AC\] là hình chiếu của SC trên [ABCD] nên \[[SC,[ABCD]]=[SC,AC]=SCA=60^{\circ}\]
Tam giác ABC có AB = BC = a, \[ABC=60^{\circ},\] nên tam giác ABC đều => AC = a
Trong tam giác SAC vuông tại A nên \[SA=AC.\tan 60^{\circ}=a\sqrt{3}\]
Diện tích ABCD là \[S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2.\frac{1}{2}AB.BC\sin 60^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\]
Thể tích S.ABCD là \[V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{a^{3}}{2}\]
2. Kẻ \[AH\perp CD[H \in CD],\] tam giác ACD đều cạnh a, đường cao \[AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Trong tam giác vuông SAH có \[SH=\sqrt{SA^{2}+HA^{2}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\]
Do \[SA\perp [ABCD]\Rightarrow SA\perp CD,CD\perp AH\Rightarrow CD\perp SH\]
Diện tích tam giác SAD là \[S_{\triangle SCD}=\frac{1}{2}SH.CD=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}\]
\[V_{S.ACD}=\frac{d[A,[SCD]].S_{\triangle SCD}}{3}=\frac{1}{3}SA.S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow d[A,[SCD]]=\frac{3a^{3}}{4S_{\triangle SAD}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\]
Do AB // [SCD] nên \[d[B,[SCD]]=d[AB,[SCD]]=d[A,[SCD]]=\frac{a\sqrt{15}}{5}\]
3. Do CA = CB = CD = a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Kẻ Cx / SA, trong [SAC] kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD.
Thật vậy, \[Cx//SA\Rightarrow Cx\perp [ABD]\Rightarrow OC\perp [ABD]\] mà CA = CB = CD nên OA = OB = OD. Mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA = OS => OA = OB = OD = OS => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r = OA
Dễ thấy MACO là hình chữ nhật nên \[r=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+[\frac{a\sqrt{3}}{2}]^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\]
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
- Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và [P].
Dạng 1: Hình chóp đều.
Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$ |
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}.$$ |
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.
Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[\frac{a \sqrt{3}}{3}]^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.
Bài tập áp dụng
Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$ |
Giải: Giao tuyến của [SAB] với [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.
Bài tập áp dụng:
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
=> Hướng dẫn giải
Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp [ABCD]$.
$AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$
Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:
Công thức tính diện tích mặt cầu là: