Công thức Tính độ dài đường cao của tứ diện

Tứ diện là gì? Tứ diện đều là gì? Khái niệm và công thức tính thể tích tứ diện đều như nào? Bài tập ví dụ và cách giải thể tích của tứ diện đều? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề thể tích tứ diện đều qua bài viết dưới đây.

Tứ diện là gì? Tứ diện đều là gì?

Khái niệm hình tứ diện là gì?

Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được ký hiệu là A, B, C, D.

Bất kỳ điểm nào trong số A, B, C, D cũng có thể được coi là đỉnh; Mặt tam giác đối diện với nó được gọi là đáy. Ví dụ, nếu chọn A là đỉnh thì [BCD] là mặt đáy.

Khái niệm hình tứ diện đều là gì?

Khi tứ diện có các mặt bên đều là các hình tam giác đều thì ta có hình tứ diện đều. .

Tứ diện đều là một trong năm loại khối đa diện đều.

Thể tích tứ diện đều cạnh a

Gọi tứ diện đều có cạnh a là ABCD.

Xem tứ diện đều ABCD cạnh a như hình chóp có đỉnh A và đáy là tam giác đều BCD. Diện tích mặt đáy là:

\[S_{BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\]

Từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc [BCD] thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra chiều cao của hình chóp A.BCD là: \[h=AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=a\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

Từ đó suy ra, khối tứ diện đều ABCD cạnh a có thể tích là: \[V=\frac{1}{3}S_{BCD}.h=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\]

Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Tứ diện ABCD đều cạnh a

Ta có:

\[S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]

và \[h=AO=\sqrt{AB^{^{2}}-OB^{2}}=\sqrt{a^{2}-[\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}]^{^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]

Do đó, \[V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\]

Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a

Cách giải:

Ta có: AA’B’D’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B’D’ cạnh a.

Do đó:

\[A’H=\frac{2}{3}A’O’=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

\[\Rightarrow AH^{2}=AA’^{2}-A’H^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{2a^{2}}{3}\]

\[\Rightarrow AH=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]

Suy ra:

Diện tích tam giác đều A’B’D’ là: \[S_{A’B’D’}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]

Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là: \[S_{A’B’C’D’}=2s_{B’C’D’}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\]

Vậy thể tích khối hộp đã cho là: \[V=B.h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}\]

Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \[\sqrt{2}\]

Cách giải:

Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng \[2a\]

Trên đây là những kiến thức hữu ích về chủ đề thể tích của tứ diện đều. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích. Nếu có bất cứ thắc mắc nào liên quan đến chủ đề thể tích tứ diện đều, đừng quên để lại nhận xét để Dinhnghia.vn hỗ trợ giải đáp nhé. Thấy hay đừng quên chia sẻ nha! Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Công thức tính thể tích khối chóp: Lý thuyết và Các dạng bài tập 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:

[Nguồn: www.youtube.com]

Please follow and like us:

Cho tứ diện ABCD có

Tính độ dài đường cao AH của hình chóp ABCD.

A.

B.

C.

D.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

ChọnD Ta có

[đvdt] Ta có

Đáp án đúng là D

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 45 phút Bài toán về góc, khoảng cách, diện tích, thể tích - Toán Học 12 - Đề số 11

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho đường thẳng
  và mặt cầu
  tâm
  có phương trình
  . Đường thẳng
  cắt
  tại hai điểm
  . Tính diện tích tam giác
  .

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

  và
  là:

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho ba điểm
  ,
  ,
  và mặt phẳng
  . Điểm
  thuộc
  sao cho
  đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức
  bằng:

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

  . Thể tích của khối tứ diện ABCD là

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm

  và mặt phẳng
  . Tìm trên [P] điểm M sao cho
  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ.

• Cho điểm

  vàđường thẳng
  . Khoảng cách từ M đến d bằng:

• Trong không gian

  ,cho hai điểm
  và mặt phẳng
  .Tìm điểm
  trên mặt phẳng
  sao cho
  đạt giá trị nhỏ nhất ?

• Cho bốn đỉnh

  . Khi đó độdài đường cao của tứu diện ABCD kẻtừD là:

• Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  có tâm
  và đi qua điểm
  . Xét các điểm B, C, D thuộc
  sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng:

• Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

  Tìm số đo của
  .

• Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu tâm

  đi qua điểm
  . Xét các điểm B, C, D thuộc
  sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

  Một đường thẳng d thay đổi cắt 3 mặt phẳng
  lần lượt tại A, B, C. Đặt
  Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

• [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M1  ; 2 ; 1 đến mặt phẳng P:x−3y+z−1=0 bằng
  

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với

  . Chu vi của tam giác ABC bằng:

• Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A2;0;0, B0;4;0, C0;0;−2 và D2;1;3 . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC .
  

• Trong không gian với hệ trục toạ độ

  mặt phẳng
  đi qua điểm
  cắt các tia
  lần lượt tại các điểm
  [
  không trùng với gốc
  ] sao cho tứ diện
  có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng
  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

• [HH12. C3. 1. D06. b] Viết phương trình mặt cầu [S] , biết [S] có tâm I[−1  ;  2  ;  0] và có một tiếp tuyến là đường thẳng Δ:x+1−1=y−11=z−3 .
  

• Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P:3x+4y−12z+5=0 và điểm A2;4;−1 . Trên mặt phẳng P lấy điểm M . Gọi B là điểm sao cho AB→=3. AM→ . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng P .
  

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chocácđiểm

  . Mặt phẳng [ABC] cắt các trục Ox, Oy, Oz tại M, N, P. Thể tích tứ diện OMNP là:

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho đường thẳng
  . Gọi
  là mặt phẳng chứa đường thẳng
  và tạo với mặt phẳng
  một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm
  cách mặt phẳng
  một khoảng bằng:

• [Câu 7 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 2; 1. Tính độ dài đoạn thẳng OA.
  

• Trong không gian Oxyz , cho các điểm A1;2;3,B1;0;−1,C2;−1;2 . Tìm toạ độ điểm D nằm trên tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát tử đỉnh D của tứ diện ABCD bằng 33010
  

• Cho tứ diện ABCD có

  Tính độ dài đường cao AH của hình chóp ABCD.

• Trong không gian Oxyz , cho điểm M−1 ; 2 −3 và mặt phẳng P:2x−2y+z+5=0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P bằng
  

• Cho mặt phẳng

  và mặt cầu
  Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng [P] đến một điểm thuộc mặt cầu [S] là:

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Chất khí trong xy lanh nhận nhiệt hay tỏa nhiệt một lượng là bao nhiêu nếu như thực hiện công 40J lên khối khí và nội năng khối khí tăng thêm 20J ?

• Hình nào không biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối?

• Trong tin học dữ liệu là?

• Thông tin là:

• Nút Start nằm ở đâu trên màn hình nền?

• Đồ thị hàm số $y=-3{{x}^{2}}+2x+5$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là:

• cho hàm số y =f[x]= 3x. Giá trị của hàm số tại x = 1,5 là

• Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}$ là

• Một tác giả văn học đã đóng góp cho VH TĐ một tác phẩm được gọi là " Thiên cổ kì bút" , đó là

• Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}+3x$ có đồ thị [ C ]. Giao điểm của [C ] và trục ox là: