Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình lớp 9

a. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c [1], trong đó a; b; c là các số đã biết; $a\neq0$           hoặc $b\neq0$

Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn

b. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong phương trình [1] nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$                    bằng vế phải thì cặp số $[x_0;y_0]$                   được gọi là một nghiệm của phương trình [1]

Ví dụ: Cặp số [3; 4] là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình [1] được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $[x_0;y_0]$         được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $[x_0;y_0]$

c. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c [ $a\neq0$  hoặc $b\neq0$    ]   luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là [d]

- Nếu $a\neq0$           và $b\neq0$         thì đường thẳng [d] chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

- Nếu $a\neq0$           và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$               và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b\neq0$          thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$                và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{[x;5-3x]/ x\in R\right\}$

Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$

Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Khái niệm

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$

Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $[x_0;y_0]$                 thì $[x_0;y_0]$           được gọi là một nghiệm của hệ [I]

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ [I] vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm [tìm tập nghiệm] của nó.

Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$               là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta thấy cặp số [3; 3] là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$

b. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,[d]\\a’x+b’y=c’\,\,\,[d’]\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$

Nghiệm hệ phương trình [I] chính là số giao điểm của đường thẳng [d] và [d']

- Nếu [d] cắt [d'] thì $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$                   Khi đó hệ [I] có một nghiệm duy nhất

- Nếu [d] song song với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$                       Khi đó hệ [I] vô nghiệm

- Nếu [d] trùng với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$                               Khi đó hệ [I] có vô số nghiệm

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\begin{cases}x+y=3\\x-2y=0\end{cases}$

Ta có: a = 1; b = 1; c = 3; a' = 1; b' = - 2; c' = 0

Khi đó $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$  nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hình vẽ minh họa

\n \n

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình $\begin{cases}3x-2y=-6\\3x-2y=3\end{cases}$

Ta có: a = 3; b = -2; c = -6; a' = 3; b' = -2; c = 3

Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$  nên hệ phương trình vô nghiệm

Hình vẽ minh họa

\n \n

Ví dụ 3. Xét hệ phương trình $\begin{cases}x-2y=-6\\-x+2y=6\end{cases}$

Ta có: a = 1; b = - 2; c = - 6; a' = -1; b' = 2; c' =6

Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$  nên hệ phương trình vô số nghiệm

c. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu $\Leftrightarrow$

Ví dụ: $\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+y=5\\3x-y=13\end{cases}$

Với Công thức nghiệm của phương trình ax+by=c Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Công thức nghiệm của phương trình ax+by=c từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng [d] ax + by = c.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho phương trình 3x - 2y = 1

a] Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Bài 2: Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn có các nghiệm là [1;-3] và [-2;0]. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình đó.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát ax + by = c [a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]

+ Thay x = 1; y = -3 và phương trình ta có: a – 3b = c [1]

+ Thay x = -2; y = 0 vào phương trình ta có: -2a = c [2]

Thay [2] vào [1] ta được a - 3b = -2a ⇔ 3a = 3b ⇔ a = b.

Khi đó phương trình có dạng ax + ay = -2a ⇔ x + y = -2 [do a ≠ 0].

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là x ∈ R và y= -x - 2 hoặc x= -y - 2 và y ∈ R

Bài 3: Viết công thức nghiệm của các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

a] 3x - y = 1/2

b] x + 5y = 0

Hướng dẫn giải

a] 3x - y = 1/2

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

x ∈ R; y = 3x - 1/2

Biểu diễn hình học:

b] x + 5y = 0

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

x ∈ R; y = -x/5

Biểu diễn hình học

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a] x + 3y = 1

b] 4x - 5y = 24

Hướng dẫn giải