Đề bài - bài 17 trang 56 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp làa, chiều cao làh, thể tích khối chóp làV, diện tích toàn phần là Stpthì \(r = {{3V} \over {{S_{tp}}}}\), tức là \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\). Vậy Stpnhỏ nhất khi và chỉ khiVnhỏ nhất.

Mặt khác, cũng từ hệ thức \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\), ta có hệ thức liên hệ giữaa, hvàrlà

\(\eqalign{ & r = {{ah} \over {a + \sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }}\;\;\;\;(1) \cr & \left( {V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{\sqrt 3 } \over {12}}{a^2}.h} \right). \cr} \)

GọiMlà trung diểm củaBCvà đặt \(\widehat {SMH}\) =\(\varphi \) (đó là góc giữamp(SBC)vàmp(ABC),cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp). Khi ấy

\(h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\tan \varphi \;\;\;\;(2)\)

Thay (2) vào (1), ta có \(a = {{6r(\cos \varphi + 1)} \over {\sqrt 3 \sin \varphi }},\) từ đó thay vào (2), ta có \(h = {{r(\cos \varphi + 1)} \over {\cos \varphi }}\)

Suy ra \({a^2} = 12{r^2}{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }},\)

Vậy

\(\eqalign{ V& = {{\sqrt 3 } \over {12}}.12{r^2}.{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.r.{{1 + \cos \varphi } \over {\cos \varphi }} \cr & = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + \cos \varphi )}^2}} \over {{\rm{cos}}\varphi {\rm{(1 - cos}}\varphi {\rm{)}}}} = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}} \cr} \)

với \(0

Xét hàm số \(f(t) = {{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}},0 < t < 1,\) thìVnhỏ nhất khi và chỉ khif(t)nhỏ nhất.

Ta có:

\(\eqalign{
f'(t) &= {{2\left( {1 + t} \right)t\left( {1 - t} \right) - {{\left( {1 + t} \right)}^2}\left( {1 - 2t} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{2\left( {t - {t^3}} \right) - \left( {1 - 3{t^2} - 2{t^3}} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{3{t^2} + 2t - 1} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr} \)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}.\)

Xét bảng biến thiên sau

Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over 3}\), tức là \(\cos \varphi = {1 \over 3}.\)

Khi đó h=4r, \(\tan \varphi = 2\sqrt 2 ,\) từ đó \(a = 2r\sqrt 6 .\)

Vậy khi \(a = 2r\sqrt 6 \), \(h=4r\) thì diện tích toàn phần của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất.