Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là trung đểm của các cạnh \[AB, CD\] và \[G\] là trung điểm của đoạn \[MN\]
a] Tìm giao điểm \[A'\] của đường thẳng \[AG\] và mặt phẳng \[[BCD]\]
b] Qua \[M\] kẻ đường thẳng \[Mx\] song song với \[AA'\] và \[Mx\] cắt \[[BCD]\] tại \[M'\]. Chứng minh \[B, M', A'\] thẳng hàng và \[BM' = M'A' = A'N\].
c] Chứng minh \[GA = 3 GA'\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Trong \[[ABN]\]: Gọi \[A'=AG \cap BN\].
b] Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.
c] Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] Có:\[MN \subset \left[ {ABN} \right]\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow {\rm{ }}G \in \left[ {ABN} \right]}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}AG \subset \left[ {ABN} \right].}
\end{array}\]
Trong \[[ABN]\]: Gọi \[A'=AG \cap BN\]
\[ \Rightarrow A' \in BN \subset [BCD]\].
\[ \Rightarrow A' \in [BCD]\Rightarrow A' = AG \cap [BCD]\]
b] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}MM'//AA'\\AA' \subset \left[ {ABN} \right]\\M \in AB \subset \left[ {ABN} \right]\end{array} \right. \] \[\Rightarrow MM' \subset \left[ {ABN} \right]\]
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}M' \in \left[ {ABN} \right]\\M' \in \left[ {BCD} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow M' \in \left[ {ABN} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = BN\].
Mà \[A'\] cũng thuộc \[BN\] nên \[M',A',B\] thẳng hàng [cùng nằm trên \[BN\]].
*] Xét tam giác \[NMM'\] có:
+] \[G\] là trung điểm của \[NM\].
+] \[GA'//MM'\]
\[\Rightarrow A'\] là trung điểm của \[NM'\]
Xét tam giác \[BAA'\] có:
+] \[M \] là trung điểm của \[AB\]
+] \[MM'//AA'\]
\[\Rightarrow M'\] là trung điểm của \[BA'\]
Do đó: \[BM'=M'A'=A'N\].
c] Ta có \[\displaystyle MM'={1\over 2} AA'\]
\[ \Rightarrow GA' = \frac{1}{2}MM' = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{4}AA' \]
\[\Rightarrow GA = AA' - GA' \] \[= AA' - \frac{1}{4}AA' = \frac{3}{4}AA'\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}AA'}}{{\dfrac{3}{4}AA'}} = \dfrac{1}{3} \] \[\Rightarrow GA = 3GA'\]