Đề bài
Cho đường tròn tâm O, hai dây MN = PQ và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại A ở ngoài đường tròn [N nằm giữa M và A, Q nằm giữa P và A]. Chứng minh AM = AP và AN = AQ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh AE = AF.
+] Cộng trừ đoạn thẳng, chú ý sử dụng định lí: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Kẻ \[OE \bot MN,\,\,OF \bot PQ\].
Do \[MN = PQ\,\,\left[ {gt} \right] \] \[\Rightarrow OE = OF\] [trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm].
Xét tam giác vuông OAE và OAF có:
\[\begin{array}{l}OE = OF\,\,\left[ {cmt} \right]\\OA\,\,chung\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\Delta _v}OAE = {\Delta _v}OAF\] [cạnh huyền cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow AE = AF\] [1] [2 cạnh tương ứng].
Ta có \[OE \bot MN;\,\,OF \bot PQ \Rightarrow \] E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung] \[ \Rightarrow EM = EN,\,\,FP = FQ\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE - EN = AF - FQ\\AE + EN = AF + FQ\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN = AQ\\AM = AP\end{array} \right.\].