Đề bài
Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
+ B1: Chứng minh bài toán đúng với \[n = 1\]
+ B2: Giả thiết bài toán đúng với \[n = k\] [gọi là giả thiết quy nạp]
+ B3. Chứng minh bài toán đúng với \[n = k + 1\]
Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi\[n\in {\mathbb N}^*\]
_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\]ta có:
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n[n + 1][2n + 1]} \over 6}[1]\]
Giải
_ Khi \[n = 1\] thì [1] trở thành \[{1^2} = {{1[1 + 1][2 + 1]} \over 6}\]đúng.
_ Giả sử [1] đúng khi \[n = k\], tức là:
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k[k + 1][2k + 1]} \over 6}\]
_ Ta chứng minh [1] đúng khi \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh:
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {[k + 1]^2} = {{[k + 1][k + 2][2k + 3]} \over 6}\]
_ Thật vậy :
\[\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {[k + 1]^2} \cr
& = {{k[k + 1][2k + 1]} \over 6} + {[k + 1]^2} \cr&= {{[k + 1]k[2k + 1] + 6[k + 1]} \over 6} \cr
& = {{[k + 1][2{k^2} + 7k + 6]} \over 6} \cr&= {{[k + 1][k + 2][2k + 3]} \over 6} \cr} \]
Vậy [1] đúng khi \[n = k + 1\].
Kết luận: [1] đúng với\[n\in {\mathbb N}^*\]