Đề bài - bài 9 trang 170 sbt hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.ABCD với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1)

a) Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

b) Chứng minh A'C (BC'D)

c) Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D' và BC'.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy C(1; 1; 0), B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1).

b) Ta có: \(\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {BC'} = \left( {0;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} = \left( { - 1;1;0} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BC'} = 0\) và \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD} = 0\)

Từ đó suy ra \(A'C \bot BC',A'C \bot BD\) nên A'C (BC'D).

c)

Gọi IJ là đường vuông góc chung của B'D' và BC'

\(\overrightarrow {{n_1}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) qua B'D' và song song với AC

\(\overrightarrow {{n_2}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) qua BC' và song song với A'C.

Khi đó \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left( {1;1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {2; - 1;1} \right)\)

Phương trình của (P) là: (x - 1) + y + 2(z - 1) = 0 hay x + y + 2z - 3 = 0.

Phương trình của (Q) là: 2(x - 1) - y + z = 0 hay 2x - y + z - 2 = 0.

Phương trình của (B'D') là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1\end{array} \right.\) .

Phương trình của (BC') là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

I là giao điểm của đường thẳng B'D' và (Q), để tìm tọa độ của I ta thế phương trình đường thẳng B'D' vào phương trình của (Q)

Ta có: 2(1 - t) - t + 1 - 2 = 0, hay t = 1/3.

Từ đó suy ra I(2/3; 1/3; 1)

Tương tự, ta tìm được J(1; 2/3; 1/3).