Đề bài
Cho tam giác ABC [AB < AC]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a] Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?
b] Gọi E là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh rằng tứ giác AECM là hình bình hành.
c] Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AECM lần lượt là:
- Hình chữ nhật
- Hình thoi
- Hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC [gt];
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác ABC
\[ \Rightarrow MN//AC \Rightarrow \] Tứ giác MNAB là hình thang.
b] Tứ giác AECM có AC và ME cắt nhau tại N [gt]
N là trung điểm của AC [gt]
N là trung điểm của ME [E đối xứng với M qua N]
Do đó tứ giác AECM là hình bình hành.
c] Ta có tứ giác AECM là hình bình hành.
* Tứ giác AECM là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành AECM có \[\widehat {AMC} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] có AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
\[ \Leftrightarrow \Delta ABC\] cân tại A.
Vậy tam giác ABC có thêm điều kiện là tam giác ABC cân tại A để tứ giác AEMC là hình chữ nhật.
* Tứ giác AECM là hình thoi \[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành AECM có \[AM = MC\].
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] có AM là đường trung tuyến, \[AM = {{BC} \over 2} \Leftrightarrow \Delta ABC\] vuông tại A.
Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông tại A để tứ giác AECM là hình thoi.
* Tứ giác AECM là hình vuông \[ \Leftrightarrow \] Hình chữ nhật AECM có \[AM = MC \Leftrightarrow \Delta ABC\] cân tại A.
Hình chữ nhật AECM có thêm điều kiện \[\widehat {AMC} = {90^0}\]
\[ \Leftrightarrow \Delta ABC\] vuông tại A.
Vậy tam ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông cân tại A để tứ giác AECM là hình vuông.