Đề bài
Câu 1. Giải và biện luận phương trình \[{m^2}x + 1 = 3x + m\left[ {1 - 2x} \right]\] theo tham số \[m\].
Câu 2. Xác định\[m\] để phương trình \[m{x^2} - 2\left[ {m - 2} \right] + m - 3 = 0\] có đúng một nghiệm âm.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có \[{m^2}x + 1 = 3x + m\left[ {1 - 2x} \right] \]
\[\Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 2m - 3} \right]x = m - 1\] .
\[{m^2} + 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 3\end{array} \right.\]
Phương trình có một nghiệm \[x = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m - 3}} = \dfrac{1}{{m + 3}}\]
\[{m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\]
+ Với \[m= 1\], phương trình trở thành \[0x= 0\]. Phương trình nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]
+ Với \[m= -3\], phương trình trở thành \[0x= -4\]. Phương trình vô nghiệm.
Kết luận
\[m \ne 1\] và \[m \ne - 3\] : Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\dfrac{1}{{m + 3}}} \right\}\] .
\[m = 1\] : Phương trình có tập nghiệm
\[S =\mathbb{R} \].
\[m = - 3\] : Phương trình có tập nghiệm \[S = \emptyset \] .
Câu 2.
Cho phương trình \[m{x^2} - 2\left[ {m - 2} \right]x + m - 3 = 0\] .
Xét các trường hợp:
+ \[m=0\]: Phương trình trở thành \[4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\] [loại].
+ \[m \ne 0\] : \[\Delta ' = {\left[ {m - 2} \right]^2} - m\left[ {m - 3} \right] = - m + 4\] .
Phương trình có đúng một nghiệm âm khi xảy ra một trong các trường hợp sau
+ \[{x_1} = {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\S < 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 0\\\dfrac{{2\left[ {m - 2} \right]}}{m} < 0\end{array} \right.\] vô nghiệm.
+ \[{x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow P < 0\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{m - 3}}{m} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3\].
+ \[{x_1} < 0 = {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right .\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 3}}{m}=0\\\dfrac{{2\left[ {m - 2} \right]}}{m} < 0\end{array} \right.\] vô nghiệm.
Tóm lại phương trình có đúng một nghiệm âm khi \[m \in \left[ {0;3} \right]\] .