Đề bài
Cạnh huyền của một tam giác vuông là 10cm, các cạnh góc vuông tỉ lệ với 4 và 3. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\], ta có: \[A{B^2} = BH.BC\] và \[A{C^2} = CH.BC\]
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \[\dfrac {a}{b}=\dfrac {c}d=\dfrac{a+c}{b+d}\]
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH có \[AB=c;AC=b;BC=a=10cm\]
Theo bài ra, ta có: \[{b \over c} = {4 \over 3} \Rightarrow {b \over 4} = {c \over 3}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {{{b^2}} \over {16}} = {{{c^2}} \over 9} = {{{b^2} + {c^2}} \over {16 + 9}} = {{{a^2}} \over {25}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {{{{10}^2}} \over {25}} = 4 \cr & \Rightarrow {b^2} = 4.16 \Rightarrow b = 8\,\left[ {cm} \right] \cr} \]
Và \[c^2=9.4=36\] suy ra \[c = 6cm\]
\[ABC\] vuông tại A, đường cao AH.
Ta có: \[{b^2} = a.b'\] [định lí 1] \[ \Rightarrow b' = {{{b^2}} \over a} = {{{8^2}} \over {10}} = 6,4\,\left[ {cm} \right]\]
Do đó: \[c' = a - b' = 10 - 6,4 = 3,6\,\left[ {cm} \right]\]
Cách khác: Đặt \[b = 4k, c = 3k\] [vì \[{b \over 4} = {c \over 3} = k\]], ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {4k} \right]^2} + {\left[ {3k} \right]^2} = {10^2} \cr&\Leftrightarrow 16{k^2} + 9{k^2} = 100 \cr & \Leftrightarrow 25{k^2} = 100\cr& \Leftrightarrow {k^2} = 4 \Leftrightarrow k = 2 \cr} \]
Do đó: \[b = 4.2 = 8\; [cm]\] và \[c = 3.2 = 6\; [cm]\].