Đề bài
Câu 1 [4,0 điểm]:Giải các bất phương trình sau:
a] \[x\left[ {2x - 3} \right] \le - 3x\left[ {x - 1} \right] - 1\]
b] \[\dfrac{1}{{2x - 1}} \ge \dfrac{4}{{x - 3}}\]
c] \[\sqrt {{x^2} - 2x - 3} > 2x - 3\]
d] \[\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| < - x + 2\]
Câu 2 [1,5 điểm]:Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = 2{x^2} - mx + 3m - 2\] và \[y = g\left[ x \right] = m{x^2} - 2x + 4m - 5\].
Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để \[f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\], \[\forall x \in \mathbb{R}\].
Câu 3 [1,5 điểm]:Cho tam giác \[ABC\] với \[AB = 3,\,\,AC = 7,\,\,BC = 8\]. Hãy tính diện tích tam giác và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác \[ABC\].
Câu 4 [2,5 điểm]:Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hai điểm \[A\left[ { - 1;\,\,2} \right]\],\[B\left[ {3;\,\,1} \right]\] và đường thẳng \[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] [\[t\] là tham số]
a] Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \[\left[ {d'} \right]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[\left[ d \right]\].
b] Tìm tọa độ điểm \[A'\] đối xứng với \[A\] qua \[\left[ d \right]\].
c] Tìm tọa độ điểm \[M\] trên \[\left[ d \right]\] sao cho \[M\] cách \[B\] một khoảng bằng \[\sqrt 5 \].
Câu 5 [0,5 điểm]:Giải phương trình \[4x\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {2x - 1} = 4{x^2} + 3x + 3\].
Lời giải chi tiết
Câu 1 [VD]- Bất phương trình
Phương pháp:
a] Đưa về phương trình bậc hai và lập bảng xét dấu.
b] Tìm ĐKXĐ. Quy đồng sau đó lập bảng xét dấu.
c] Áp dụng \[\sqrt {f\left[ x \right]} > g\left[ x \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge 0\\g\left[ x \right] < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] > {g^2}\left[ x \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\]
d] Áp dụng \[\left| {f\left[ x \right]} \right| \le a\]\[ \Leftrightarrow - a \le f\left[ x \right] \le a\]
Cách giải:
Giải các bất phương trình sau:
a]\[x\left[ {2x - 3} \right] \le - 3x\left[ {x - 1} \right] - 1\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x\left[ {2x - 3} \right] \le - 3x\left[ {x - 1} \right] - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x \le - 3{x^2} + 3x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 3{x^2} - 3x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 6x + 1 \le 0\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \[S = \left[ {\dfrac{1}{5};\,\,1} \right]\].
b]\[\dfrac{1}{{2x - 1}} \ge \dfrac{4}{{x - 3}}\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{2x - 1}} \ge \dfrac{4}{{x - 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2x - 1}} \ge \dfrac{4}{{x - 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2x - 1}} - \dfrac{4}{{x - 3}} \ge 0\end{array}\] ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne 3\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x - 3} \right] - 4\left[ {2x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - 8x + 4}}{{2{x^2} - x - 6x + 3}} \ge 0\\\,\, \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7x + 1}}{{2{x^2} - 7x + 3}} \ge 0\end{array}\]
Ta có bảng xét dấu:
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \[S = \left[ { - \infty ;\,\,\dfrac{1}{7}} \right] \cup \left[ {3;\,\, + \infty } \right]\].
c]\[\sqrt {{x^2} - 2x - 3} > 2x - 3\]
\[\begin{array}{l}\,\,\sqrt {{x^2} - 2x - 3} > 2x - 3\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 \ge 0\\2x - 3 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 > {\left[ {2x - 3} \right]^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 3\end{array} \right.\\x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{3}{2}\\ - 3{x^2} + 10x - 12 > 0\,\,\,\,\left[ {VN} \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \le - 1\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left[ { - \infty ;\,\, - 1} \right]\].
d]\[\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| < - x + 2\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| < - x + 2\\ \Leftrightarrow x - 2 < {x^2} + 3x + 2 < - x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 < {x^2} + 3x + 2\\{x^2} + 3x + 2 < - x + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 4 > 0\,\,\,\forall x\\{x^2} + 4x < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 4 < x < 0\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \[S = \left[ { - 4;\,\,0} \right]\].
Câu 2 [VD]- Bất phương trình
Phương pháp:
Đưa biểu thức về dạng \[f\left[ x \right] - g\left[ x \right] \ge 0\].
\[P\left[ x \right] \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Cho hàm số\[y = f\left[ x \right] = 2{x^2} - mx + 3m - 2\]và\[y = g\left[ x \right] = m{x^2} - 2x + 4m - 5\].
Tìm tất cả các giá trị của tham số\[m\]để\[f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\],\[\forall x \in \mathbb{R}\].
Theo đề bài, ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 3m - 2\\ \ge m{x^2} - 2x + 4m - 5\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 3m - 2 - m{x^2} \\+ 2x - 4m + 5 \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left[ {2 - m} \right]{x^2} + \left[ {2 - m} \right]x - m\\ + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\]
TH1 : \[2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\]
Bất phương trình trở thành \[ - 2 + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\] [luôn đúng]
TH2 : \[2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\]
Để\[\left[ {2 - m} \right]{x^2} + \left[ {2 - m} \right]x - m + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{\left[ {2 - m} \right]^2} - 4.\left[ {2 - m} \right].\left[ { - m + 3} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\ - 3{m^2} + 16m - 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{10}}{3}\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ge \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2\end{array}\]
Kết hợp hai trường hợp trên, ta được \[m \le 2\]
Vậy \[m < 2\] thì \[f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\],\[\forall x \in \mathbb{R}\].
Câu 3 [VD]- Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Phương pháp:
Tính nửa chu vi của tam giác \[ABC\].
Áp dụng các công thức:
+ Công thức Hê-rông \[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left[ {p - a} \right]\left[ {p - b} \right]\left[ {p - c} \right]} \]
+ \[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{abc}}{{4R}}\], \[{S_{\Delta ABC}} = p.r\]
Cách giải:
Cho tam giác\[ABC\]với\[AB = 3,\,\,AC = 7,\,\,BC = 8\]. Hãy tính diện tích tam giác và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác\[ABC\].
Đặt \[a = BC = 8,\,\,b = AC = 7,\,\,c = AB = 3\].
\[{p_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{8 + 7 + 3}}{2} = 9\]
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left[ {p - a} \right]\left[ {p - b} \right]\left[ {p - c} \right]} \]\[ = \sqrt {9.\left[ {9 - 8} \right].\left[ {9 - 7} \right].\left[ {9 - 3} \right]} \]
Ta lại có:
\[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{abc}}{{4R}}\]\[ \Rightarrow R = \dfrac{{abc}}{{4{S_{\Delta ABC}}}}\]\[ = \dfrac{{3.7.8}}{{4.6.\sqrt 3 }} = \dfrac{7}{{\sqrt 3 }}\]
\[{S_{\Delta ABC}} = p.r\]\[ \Rightarrow r = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{p}\]\[ = \dfrac{{6.\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
Câu 4 [VD]- Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
a] \[\left[ d \right] \bot \left[ {d'} \right] \Leftrightarrow {\vec n_{d'}}.{\vec n_d} = 0\]
\[ \Rightarrow \left[ d \right]\] đi qua \[A\left[ { - 1;\,\,2} \right]\] nhận \[{\vec n_d}\] là VTPT
b] Giả sử \[\left[ d \right] \cap \left[ {d'} \right] = H\]\[ \Rightarrow \] \[H\] là trung điểm của \[AA'\]. Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 1 + t\\{y_H} = 2 + t\\{x_H} + {y_H} - 1 = 0\end{array} \right.\].
c] \[M \in \left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow M\left[ {1 + t;\,\,2 + t} \right]\]sau đó áp dụng công thức tính độ dài véc tơ để tìm tọa độ điểmM .
Cách giải:
Trong mặt phẳng tọa độ\[Oxy\], cho hai điểm\[A\left[ { - 1;\,\,2} \right]\],\[B\left[ {3;\,\,1} \right]\]và đường thẳng\[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\][\[t\]là tham số]
a] Lập phương trình tổng quát của đường thẳng\[\left[ {d'} \right]\]đi qua\[A\]và vuông góc với\[\left[ d \right]\].
\[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow {\vec u_d} = \left[ {1;\,\,1} \right]\]
Vì \[\left[ d \right] \bot \left[ {d'} \right]\]\[ \Rightarrow {\vec n_{d'}} = {\vec u_d} = \left[ {1;\,\,1} \right]\].
Phương trình tổng quát của đường thẳng \[\left[ {d'} \right]\] đi qua \[A\left[ { - 1;\,\,2} \right]\] có VTPT \[{\vec n_{d'}} = \left[ {1;\,\,1} \right]\] là :
\[\begin{array}{l}1.\left[ {x + 1} \right] + 1.\left[ {y - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\end{array}\]
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \[\left[ {d'} \right]:\,\,x + y - 1 = 0\].
b] Tìm tọa độ điểm\[A'\]đối xứng với\[A\]qua\[\left[ d \right]\].
Theo đề bài, \[A'\] đối xứng với \[A\] qua \[\left[ d \right]\] nên \[\left[ d \right]\] là đường trung trực của \[AA'\].
\[ \Rightarrow \left[ d \right] \bot AA'\] mà \[A \in \left[ {d'} \right]\] và \[\left[ d \right] \bot \left[ {d'} \right]\]
\[ \Rightarrow A' \in \left[ {d'} \right]\]
Giả sử \[\left[ d \right] \cap \left[ {d'} \right] = H\]\[ \Rightarrow \] \[H\] là trung điểm của \[AA'\].
Tọa độ điểm \[H\left[ {{x_H};\,\,{y_H}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 1 + t\\{y_H} = 2 + t\\{x_H} + {y_H} - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {1 + t} \right] + \left[ {2 + t} \right] - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 1 + \left[ { - 1} \right]\\{y_H} = 2 + \left[ { - 1} \right]\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow H\left[ {0;\,\,1} \right]\]
Vì \[H\] là trung điểm của \[AA'\] nên
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2{x_H} - {x_{A'}}\\{y_A} = 2{y_H} - {y_{A'}}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1\\{y_A} = 2\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow A'\left[ {1;\,\,0} \right]\]
c] Tìm tọa độ điểm\[M\]trên\[\left[ d \right]\]sao cho\[M\]cách\[B\]một khoảng bằng\[\sqrt 5 \].
\[M \in \left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left[ {1 + t;\,\,2 + t} \right]\]
Có \[B\left[ {3;\,\,1} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \left[ {2 - t;\,\, - 1 - t} \right]\].
Theo đề bài, ta có: \[MB = \sqrt 5 \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow M{B^2} = 5\\ \Leftrightarrow {\left[ {2 - t} \right]^2} + {\left[ { - 1 - t} \right]^2} = 5\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 2t = 0\\ \Leftrightarrow 2t\left[ {t - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\]
+] Với \[t = 0 \Rightarrow M\left[ {1;\,\,2} \right]\]
+] Với \[t = 1 \Rightarrow M\left[ {2;\,\,3} \right]\]
Vậy \[M\left[ {1;\,\,2} \right]\] hoặc \[M\left[ {2;\,\,3} \right]\]thì \[M\]cách \[B\] một khoảng bằng \[\sqrt 5 \].
Câu 5 [VD]- Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai
Phương pháp:
+ Tìm ĐKXĐ
+ Biến đổi phương trình đã cho về dạng \[{\left[ {2x - \sqrt {x + 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {2x - 1} - 1} \right]^2} = 0\].
Cách giải:
ĐKXĐ:\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\]
\[\begin{array}{l}\,\,4x\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {2x - 1} \\ = 4{x^2} + 3x + 3\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3} + {\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]^2}\\ - x - 3 - 2\sqrt {2x - 1} + 3x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3} + {\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]^2} \\+ 2x - 2\sqrt {2x - 1} = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3} + {\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]^2} \\+ 2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3} + {\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]^2}\\ + {\left[ {\sqrt {2x - 1} } \right]^2} - 2.1.\sqrt {2x - 1} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x - \sqrt {x + 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {2x - 1} - 1} \right]^2} = 0\end{array}\]
Ta có:
\[\left. \begin{array}{l}{\left[ {2x - \sqrt {x + 3} } \right]^2} \ge 0\\{\left[ {\sqrt {2x - 1} - 1} \right]^2} \ge 0\end{array} \right\}\]\[ \Rightarrow {\left[ {2x - \sqrt {x + 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {2x - 1} - 1} \right]^2} \ge 0\]
Dấu \[ = \] xảy ra khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + 3} = 0\\\sqrt {2x - 1} - 1 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {2x} \right]^2} = {\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]^2}\\{\left[ {\sqrt {2x - 1} } \right]^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - x - 3 = 0\\2x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 1\].