A. Lý thuyết cơ bản
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng và mặt phẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
- và cắt nhau tại điểm , kí hiêu hoặc để đơn giản ta kí hiệu [h1]
- song song với , kí hiệu hoặc [ h2]
- nằm trong , kí hiệu [h3]
2. Các định lí và tính chất.
- Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng nằm trong thì song song với .
|
Vậy |
|
Vậy . |
|
Vậy . |
|
|
B. Bài tập
Dạng 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
|
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng songsong với mặt phẳng |
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là và .
a] Chứng minh song song với các mặt phẳng và .
b] Gọi lần lượt là hai điểm trên các cạnh sao cho . Chứng minh song song với .
Lời giải:
|
a] Ta có là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên , . Tương tự, là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên , . |
b] Trong , gọi
Do nên .
Lại có .
Mà .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành. Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của và là điểm trên cạnh sao cho .
a] Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Chứng minh .
b] Chứng minh .
Lời giải:
|
a] Ta có , , mà . |
b] Gọi là giao điểm của và
Ta có
, .
Dạng 2: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp , và là hai điểm thuộc cạnh và , là mặt phẳng qua và song song với .
a] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi.
b] Tìm điều kiện của để thiết diện là một hình thang.
Lời giải:
|
a] Ta có . Trong gọi Vậy Từ đó ta có . Thiết diện là tứ giác . |
|
b] Tứ giác là một hình thang khi hoặc .
Trường hợp 1:
Nếu thì ta có
Mà [vô lí].
Trường hợp 2:
Nếu thì ta có các mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là nên .
Đảo lại nếu thì
nên tứ giác là hình thang.
Vậy để tứ giác là hình thang thì điều kiện là .
Ví dụ 2. Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh và tam giác đều. Một điểm thuộc cạnh sao cho , mặt phẳng đi qua song song với và .
a] Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
b] Tính diện tích thiết diện theo và .
Lời giải:
|
a] Ta có .Tương tự Trong gọi , thì ta có . Thiết diện là tứ giác . |
|
b] Do
Lại có . Từ và suy ra
Mà .
Ba mặt phẳng và đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là với .
Vậy là hình thang.
|
Ta có , mà . Do đó là hình thang cân. Từ , |
|
,
Gọi là trung điểm của thì
.