\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {{{\left[ {x - y} \right]}^2} + {{\left[ {y - z} \right]}^2} + {{\left[ {z - x} \right]}^2}} \right]\]
Từ đó chứng tỏ:
- Với ba số x, y, z không âm thì \[{{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\]
- Với ba số a, b, c không âm thì \[{{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \] [Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm].
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\[{1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {{{\left[ {x - y} \right]}^2} + {{\left[ {y - z} \right]}^2} + {{\left[ {z - x} \right]}^2}} \right]\]
\[ = {1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {\left[ {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right] + \left[ {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right] + \left[ {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right]} \right]\]
\[ = {1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right]\]
\[ = {1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right]\]
\[ = \left[ {x + y + z} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right]\]
\[ = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\]
\[ + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\]
\[ + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\]
\[ = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.
- Nếu \[x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\] thì:
\[x + y + z \ge 0\]
\[{\left[ {x - y} \right]^2} + {\left[ {y - z} \right]^2} + {\left[ {z - z} \right]^2} \ge 0\]
Suy ra:
\[\eqalign{ & {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \]
Hay: \[{{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\]
- Nếu \[a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0$ thì $\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \]
Đặt \[x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \] thì x, y, z cũng không âm.
Từ chứng minh trên, ta có: \[{{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\]
Hay:
\[\eqalign{ & {{{{\left[ {\root 3 \of a } \right]}^3} + {{\left[ {\root 3 \of b } \right]}^3} + {{\left[ {\root 3 \of c } \right]}^3}} \over 3} \ge \left[ {\root 3 \of a } \right]\left[ {\root 3 \of b } \right]\left[ {\root 3 \of c } \right] \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \]
Câu 95 trang 20 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:
- Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.
- Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.
Gợi ý làm bài
Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có: \[a > 0,b > 0,c > 0\] suy ra: \[\sqrt a > 0,\sqrt b > 0,\sqrt c > 0\]
Đặt \[x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \]
Ta có:
\[\eqalign{ & x + y + z > 0,{\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0, \cr & {\left[ {y - z} \right]^2} \ge 0,{\left[ {z - x} \right]^2} \ge 0 \cr} \]
Suy ra: \[\left[ {x + y + z} \right]\left[ {{{\left[ {x - y} \right]}^2} + {{\left[ {y - z} \right]}^2} + {{\left[ {z - x} \right]}^2}} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {1 \over 2}\left[ {x + y + z} \right]\left[ {{{\left[ {x - y} \right]}^2} + {{\left[ {y - z} \right]}^2} + {{\left[ {z - x} \right]}^2}} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {1 \over 2}[x + y + z]\left[ {[{x^2} - 2xy + {y^2}][{y^2} - 2yz + {z^2}][{z^2} - 2zx + {x^2}]} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {1 \over 2}[x + y + z][2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {x + y + z} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\]
\[ + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\]
\[ + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2} \ge 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr & \Leftrightarrow {{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz \cr} \]
Thay \[x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \], ta có:
\[\eqalign{ & {{{{[\root 3 \of a ]}^3} + {{[\root 3 \of b ]}^3} + {{[\root 3 \of c ]}^3}} \over 3} \ge \root 3 \of a .\root 3 \of b .\root 3 \of c \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \]
Các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thích thì \[{{a + b + c} \over 3}\] không đổi.
Vì \[{{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \] và \[{{a + b + c} \over 3}\] không đổi nên \[\root 3 \of {abc} \] \[\root 3 \of {abc} \] đạt giá trị lớn nhất \[{{a + b + c} \over 3}\] khi a = b = c.