Giải và biện luận hệ phương trình mx y 3m 1 và x my m + 1
|
cho hệ phương trình {mx+y=3m-1 và x+my+ m+1 (m là tham số ) tìm các giá trị tham sỗ của m để hệ phương trình: a) có nghiệm duy nhất, b) vô nghiệm
Các câu hỏi tương tự
Hệ pt : \(\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\) Xét pt đầu : \(x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\) thay vào pt còn lại : \(m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\) \(\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=-m^2+2m-1\) Nếu \(m=1\) thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm. Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm. Xét với \(me1\) và \(me-1\) thì pt có nghiệm \(y=\frac{-\left(m-1\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m-1}{m+1}\) \(\Rightarrow x=m+1-m\left(\frac{m-1}{m+1}\right)=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\) Xét \(xy=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}\) Đặt \(t=m+1\) thì \(m=t-1\) thay vào biểu thức trên được \(\frac{3\left(t-1\right)^2-2\left(t-1\right)-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\) Lại đặt \(a=\frac{1}{t}\) thì : \(4a^2-8a+3=4\left(a-1\right)^2-1\ge-1\) Suy ra \(xy\ge-1\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\) Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 |
