Hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng chuẩn nhất mà chúng tôi sẽ hướng dẫn chi tiết đến các bạn ngay bây giờ sẽ là những công thức Toán học cực kỳ hữu ích dành cho bạn nào đang trong quá trình ôn luyện để chuẩn bị thi cử sắp tới. Có không ít các bạn học sinh hiện nay còn khá mù mờ về khái niệm hệ số góc, không hiểu nó là gì và cách tính như thế nào mới cho kết quả chính xác. Hiểu được những vấn đề vướng mắc này của học sinh, chúng tôi xin chia sẻ hướng dẫn thêm về khái niệm hệ số góc, cùng với đó là công thức tính toán hệ số góc của một đường thẳng, kèm theo vài ví dụ bài tập minh họa cụ thể để tiện hình dung, liên tưởng.
Đang xem: Hệ số góc k
Nào hãy cùng thanhchien3d.vn chúng tôi tìm hiểu thêm về hệ số góc của đường thẳng và cách tính toán chuẩn nhất được cập nhật sau đây nhé!
Mục lục
1 Hệ số góc và hướng dẫn cách tính hệ số góc của đường thẳng chuẩn nhất
Hệ số góc và hướng dẫn cách tính hệ số góc của đường thẳng chuẩn nhất
Dưới đây bài viết chia sẻ đến các bạn về hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng, mời các bạn cùng theo dõi.
Hệ số góc của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hệ số góc của đường thẳng [d] là tan α, trong đó α là góc tạo bởi đường thẳng [d] và chiều dương của trục Ox.
• Nếu α ≠ 90o thì k = tan α chính là hệ số góc của đường thẳng [d].
Nếu k > 0 thì 0 o [d⊥Ox] thì đường thẳng [d] không có hệ số góc vì tan 90° không xác định.
Mệnh đề 1: Phương trình đường thẳng [d] có hệ số góc là k có dạng y = kx + b
Mệnh đề 2: Đường thẳng [d] đi qua điểm M0 [x0;y0] và có hệ số góc k có phương trình là y = k [x−x0]+y0
Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc.
Xem thêm: You Searched For Hẹn Hò Tải Game Hẹn Hò Online, Game Hẹn Hò Online 2
Cách tính hệ số góc của đường thẳng
Như vậy ta thấy: đường thẳng [d] có dạng tổng quát là [d]: Ax + By + C = 0
Nếu B ≠ 0 thì ta chuyển đường thẳng [d] về dạng: y = kx + b ⇔ A/Bx + y +C/B=0
⇒ y = − A/Bx − C/B
Khi đó hệ số góc của đường thẳng [d] là k = −A/B
Cách tính góc a tạo bởi đường thẳng [d] và chiều dương trục Ox
Để tính góc α ta cần biết hệ số góc k của đường thẳng, cách tính hệ số góc của đường thẳng ở trên. Sau khi có hệ số góc k ta có: tan α = k => α
Bài tập ví dụ
* Ví dụ 1: Cho đường thẳng [d]: 2y – x + 1 = 0, hãy xác định hệ số góc của đường thẳng [d] và tính góc hợp bởi đường thẳng d và chiều dương của trục Ox.
Giải
Ta có: 2y – x + 1 = 0
⇔ 2y = x−1
⇔ y = 1/2x−1/2
=> Hệ số góc của đường thẳng [d] k = 1/2
Mà tan α = k= 1/2
⇒ α = arctan 1/2
Vậy góc hợp bởi đường thẳng d và chiều dương của trục Ox là arctan 1/2
* Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x + 2
a] Vẽ đồ thị của hàm số.
b] Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -x + 2 và trục Ox [làm tròn đến phút].
Giải
Đồ thị hàm số:
x = 0 => y = 2 điểm A [0; 2]
y = 0 => x = 2 điểm B [2; 0]
Đồ thị hàm số y = – x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A [0; 2] và B [2; 0].
Góc hợp bởi đường thẳng y = – x + 2 và trục Ox là α
⇒ α = ˆABx
△ OAB là tam giác vuông cân vì OA = OB
⇒ ˆOBA = ˆOAB = 45o
Vậy α = 180o−ˆOBA = 180o−45o = 135o
=> Góc tạo bởi đường thẳng y = – x + 2 và trục Ox là 135°
* Ví dụ 3: Cho hàm số y = -2x + 3
Tính góc tạo bởi đường thẳng y và trục Ox [làm tròn đến phút].
Xem thêm: Tải Game Loạn 12 Sứ Quân Crack Miễn Phí Cho Điện Thoại, Tai Game Loan 12 Su Quan Crack Kich Hoatinstmank
Giải
Đồ thị hàm số y = -2x + 3
Gọi góc hợp bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox là α.
⇒ α = ˆABx
Xét tam giác vuông OAB, ta có: tanˆOBA=OA/OB=2
⇒ ˆOBA = 63o26′
⇒ α = 180o−ˆOBA = 180o − 63o26′ = 116o34′
Vậy góc hợp bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox bằng 116o34′
Chúng tôi vừa chia sẻ lại cho các bạn hiểu thêm về hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng một cách chuẩn xác nhất, không quá phức tạp như nhiều công thức tính toán khác, đúng không nào? Đối với những bài toán liên quan tới hệ số góc của đường thẳng như thế này, bạn chỉ cần nắm rõ và ghi nhớ thật kĩ là đã có thể giải nhanh bất kể đề bài nào trong thời gian nhanh nhất. thanhchien3d.vn chúc các bạn thành công và hãy tiếp tục cập nhật những tin bài khác về Toán Học nhé!
thanhchien3d.vn là mạng xã hội thông tin kiến thức về các lĩnh vực như: làm đẹp, sức khoẻ, thời trang, công nghệ… do cộng đồng thanhchien3d.vn tham gia đóng góp và phát triển. Sitemap | Mail: dhp888888
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Đây là dạng toán không khó, vì vậy nó là cơ hội không thể bỏ qua để các em có điểm từ dạng toán này.
Đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm [tiếp điểm]; Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,…
I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
– Đạo hàm của hàm số y=f[x]”>y=f[x] tại điểm x0″>x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C]”>[C] của hàm số tai điểm M[x0;y0]”>M[x0;y0].
– Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C]”>[C] tại điểm M[x0;y0]”>M[x0;y0] là: y=y′[x0][x−x0]+y0″>y=y′[x0][x−x0]+y0
– Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến [PTTT] là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0″>x0.
x0″>II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến
° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM [biết Tiếp Điểm]
x0″>* Phương pháp:
x0″>- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị [C]: y=f[x] tại điểm M[x0;y0]
x0″>+ Bước 1: Tính đạo hàm y”=f”[x] ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k=y”[x0]
x0″>+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M[x0;y0] có dạng: y=y”[x0][x-x0]+y0
x0″>* Lưu ý, một số bài toán đưa về dạng này như:
– Nếu đề cho [hoành độ tiếp điểm x0] thì tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f[x0]
– Nếu đề cho [tung độ tiếp điểm y0] thì tìm x0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f[x0]=y0
– Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị [C]: y=f[x] và đường đường thẳng [d]: y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa [d] và [C].
– Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.
* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y=x3+2×2 tại điểm M[-1;1]
° Lời giải:
– Ta có: y”=3×2 + 4x nên suy ra y”[x0] = y”[-1] = 3.[-1]2 + 4.[-1] = -1
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M[-1;1] là:
y = y”[x0][x – x0] + y[x0] ⇔ y = [-1].[x – [-1]] + 1 = -x
– Vậy PTTT của [C] tại điểm M[-1;1] là: y = -x.
* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị [C]:
và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M.
° Lời giải:
– Ta có: x0 = -1 ⇒ y0 = y[-1] = 1/2.
– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của [C] là:
* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số [C]: y =x4 – 2×2.
* Lời giải:
– Ta có y” = 4×3 – 4x = 4x[x2 – 1]
– Giao điểm của đồ thị hàm số [C] với trục hoành [Ox] là:
– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.
– Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 và k = y”[x0] = 0
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ [0; 0] có hệ số góc k = 0 là: y = 0.
– Với
và
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ [√2; 0] có hệ số góc k = 4√2 là:
– Với
và
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ [-√2; 0] có hệ số góc k = -4√2 là:
– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị [C] với trục hoành là:
y = 0; y = 4√2x – 8 và y = -4√2x – 8
° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM
x0″>* Phương pháp:
– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số [C] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA;yA]
* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị
+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A[xA;yA] có hệ số góc k có dạng:
d: y=k[x-xA]+yA [*]
+ Bước 2: Đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm
+ Bước 1: Gọi M[x0;f[x0]] là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f”[x0] theo x0.
+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến [d] có dạng: y=f”[x0][x-x0]+f[x0] [**]
Vì điểm A[xA;yA] ∈ [d] nên yA=f”[x0][xA-x0]+f[x0] giải phương trình này tìm được x0.
+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình [**] ta được PTTT cần viết.
* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của [C]: y = -4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A[-1;2].
° Lời giải:
– Ta có: y” = -12×2 + 3
– Đường thẳng d đi qua A[-1;2] có hệ số góc k có phương trình là: y = k[x + 1] + 2
– Đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.
• Với x = -1 ⇒ k = -12.[-1]2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7
• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.[1/2]2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2
• Vậy đồ thị [C] có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A[-1;2] là: y = -9x – 7 và y = 2.
* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của [C]:
đi qua điểm A[-1;4].
Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Định Dạng Trang In Trong Excel 2010, Định Dạng Và In Ấn Trong Microsoft Excel
° Lời giải:
– Điều kiện: x≠1; Ta có:
– Đường thẳng [d] đi qua A[-1;4] có hệ số góc k có phương trình: y = k[x + 1] + 4
– Đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
– Ta thấy x = -1 [loại], x = -4 [nhận]
– Với x = -4 ⇒
phương trình tiếp tuyến là:
° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k
x0″>* Phương pháp:
– Bài toán: Cho hàm số y=f[x] có đồ thị [C]. Viết PTTT của [d] với đồ thị [C] với hệ số góc k cho trước.
+ Bước 1: Gọi M[x0;y0] là tiếp điểm và tính y”=f”[x]
+ Bước 2: Khi đó,
– Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f”[x0]
– Giải phương trình k=f”[x0] này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.
+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:
[d]: y=y”0[x-x0]+y0
* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.
• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.
• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.
* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:
* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.
° Lời giải:
– Ta có: y” = 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M[x0;y0]
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y”[x0]
⇔
– Với x0 = 2 ⇒ y0 = [2]3 – 3.[2] + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1[2;4]
Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:
– Với x0 = -2 ⇒ y0 = [-2]3 – 3.[-2] + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2[-2;0]
Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:
– Kết luận: Vậy đồ thị hàm số [C] có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:
[d1]: y = 9x – 14 và [d2]: y = 9x + 18.
* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]:
song sóng với đường thẳng Δ: 3x – y + 2 = 0.
° Lời giải:
– Ta có:
; và
– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M[x0;y0], khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:
– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:
• Với x0 = -1 thì
ta có tiếp điểm M1[-1;-1]
– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là [d1]: y = 3[x + 1] – 1 ⇔ y = 3x + 2
Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1≡Δ nên loại.
• Với x0 = -3 thì
ta có tiếp điểm M2[-3;5]
– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là [d2]: y = 3[x + 3] + 5 ⇔ y = 3x + 14
• Vậy đồ thị [C] có 1 tiếp tuyến // với Δ là [d2]: y = 3x + 14
* Ví dụ 3: Cho hàm số [C]: y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với đường thẳng [Δ]:
* Lời giải:
– Gọi đườn thẳng [d] có hệ số góc k là tiếp tuyến của [C] vuông góc với [Δ] có dạng: y = kx + b
– Vì tiếp tuyến [d] vuông góc với đường thẳng [Δ]: nên suy ra k = -6; khi đó pttt [d] có dạng: y = -6x + b.
– Để [d] tiếp xúc với [C] thì hệ sau phải có nghiệm:
⇒ phương trình tiếp tuyến [d] của [C] vuông góc với [Δ] là: y = -6x + 10.
* Cách giải khác:
– Ta có hệ số góc của tiếp tuyến [d] với đồ thị [C] là y” = -4×3 – 2x.
– Vì tiếp tuyến [d] vuông góc với [Δ]: nên:
[vì 2×2 + 2x + 3 > 0, ∀x].
– Với x = 1 suy ra y = -14 – 12 + 6 = 4 và y”[1] = -4.13 – 2.1 = -6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm [1;4] là: y = -6[x – 1] + 4 = -6x + 10.
° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m
x0″>* Phương pháp:
– Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị [C]. Gọi M là điểm thuộc đồ thị [C] có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của [C] tại M song song với đường thẳng Δ: y = [m2 – 4]x + 2m – 1.
° Lời giải:
– TXĐ: D = R
– Ta có: y” = 3×2 – 6x
– Điểm M có hoành độ x0 = 1 ⇒
. Vậy điểm tọa độ điểm M[1;-2]
– Phương trình tiếp tuyến [d] tại điểm M[1;-2] của [C] có dạng:
y – y0 = y”[x0][x – x0] ⇔ y + 2 = [3.12 – 6.1][x – 1] ⇔ y = -3x + 1
– Khi đó để [d] // Δ
– Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3
– Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến [d] của [C] tại M[1;-2] song sóng với Δ.
Xem thêm: bài tập số hữu tỉ lớp 7 violet
* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2[m + 1]x2 + m + 2 có đồ thị [C]. Gọi A là điểm thuộc [C] có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của [C] tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình