Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại
|
Tìm mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau đây: A. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại. B. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. D. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thi còn có vô số điểm chung khác nữa. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ? A. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại. B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại. C. Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Câu 1: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện của hình hộp theo hai giao tuyến là $a$ và $b$. Hãy Chọn câu đúng: [A]. $a$ và $b$ song song. [B]. $a$ và $b$ chéo nhau. [C]. $a$ và $b$ trùng nhau [D]. $a$ và $b$ cắt nhau.
Câu 2: Chọn câu đúng : [A]. Hai đường thẳng a và b không cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên chúng chéo nhau [B]. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau [C]. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau [D]. Hai đường thẳng không song song và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song thì chéo nhau
Chọn [D]. A sai vì còn trường hợp song song. B sai vì còn trường hợp cắt nhau. C sai vì còn trường hợp song song. Câu 3: Chọn câu đúng : [A]. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song [B]. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau [C]. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song [D]. Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau
Chọn [A]. Theo hệ quả 2 sgk trang 66. Câu 4: Hãy Chọn câu sai : [A]. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia [B]. Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau [C]. Nếu hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và (Q) song song nhau thì mặt phẳng $\left( R \right)$ đã cắt $\left( P \right)$ đều phải cắt $\left( Q \right)$ và các giao tuyến của chúng song song nhau [D]. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại
Chọn [B]. Theo định lý 1 trang 64 sgk: Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau Câu 5: Cho một đường thẳng song song với mặt phẳng . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với ? [A]. 0 [B]. 1 [C]. 2 [D]. vô số
Chọn [B]. Có duy nhất một mặt phẳng chứa và song song với . Câu 6: Hãy chọn câu đúng : [A]. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia [B]. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau [C]. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau [D]. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau
Chọn [D]. Câu 7: Cho một điểm nằm ngoài mp. Qua vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với ? [A]. 1 [B]. 2 [C]. 3 [D]. vô số
Chọn [D]. Qua vẽ được vô số đường thẳng song song với . Câu 8: Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng song song với mp? [A]. a//b và a // (α). [B]. a// b và \[b\subset (\alpha)\]. [C]. $a//(\beta) và $(\beta) // (\alpha)$. [D]. \[a \cap \alpha = \varnothing \]
Chọn [D]. Theo định nghĩa SGK Hình học 11. Câu 9: Cho đường thẳng \[a\] nằm trên mp \[\left( \alpha \right)\] và đường thẳng \[b\] nằm trên mp \[\left( \beta \right)\]. Biết \[\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)\]. Tìm câu sai: [A]. \[a\text{//}\left( \beta \right)\]. [B]. \[b\text{//}\left( \alpha \right)\]. [C]. \[a\text{//}b\]. [D]. Nếu có một mp \[\left( \gamma \right)\] chứa \[a\] và \[b\] thì \[a\text{//}b\].
Chọn [C]. vì còn có khả năng $a,\,\,b\,$ chéo nhau như hình vẽ sau. Câu 10: Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $\left( \beta \right)$. Mệnh đề nào sau đây SAI? [A]. \[\left( \alpha \right)\text{//}(\beta )\Rightarrow a\text{//}b\]. [B]. \[\left( \alpha \right)\text{//}(\beta )\Rightarrow a\text{//}\left( \beta \right)\]. [C]. \[\left( \alpha \right)\text{//}(\beta )\Rightarrow b\text{//}\left( \alpha \right)\]. [D]. \[a\] và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau.
Chọn [A]. Nếu \[\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)\] thì ngoài trường hợp \[a\text{//}b\] thì \[a\]và $b$ còn có thể chéo nhau. Câu 11: Cho đường thẳng \[a\subset mp\left( P \right)\] và đường thẳng \[b\subset mp\left( Q \right).\] Mệnh đề nào sau đây đúng? [A]. \[\left( P \right)//\left( Q \right)\Rightarrow a//b.\] [B]. \[a//b\Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right).\] [C]. \[\left( P \right)//\left( Q \right)\Rightarrow a//\left( Q \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }b//\left( P \right).\] [D]. $a$ và $b$ cắt nhau.
Chọn C Nếu $\left( P \right)//\left( Q \right)$ thì mọi đường thẳng \[a\subset mp\left( P \right)\] đều song song với $mp\left( Q \right)$ và mọi đường thẳng \[b\subset mp\left( Q \right)\] đều song song với $mp\left( P \right).$ Câu 12: Hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong $\left( \alpha \right)$. Hai đường thẳng ${a}’$ và ${b}’$ nằm trong mp$\left( \beta \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng? [A]. Nếu \[a\,\text{//}\,{a}’\] và \[b\,\text{//}\,{b}’\] thì $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$. [B]. Nếu $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$ thì \[a\,\text{//}\,{a}’\] và \[b\,\text{//}\,{b}’\]. [C]. Nếu \[a\,\text{//}\,b\] và \[{a}’\,\text{//}\,{b}’\] thì $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$. [D]. Nếu $a$ cắt $b$, $a$ cắt $b$và \[a\,\text{//}\,{a}’\] và \[b\,\text{//}\,{b}’\] thì $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$.
Chọn D Do \[a\,\text{//}\,{a}’\]nên $a\,\text{//}\left( \beta \right)$ và \[b\,\text{//}\,{b}’\]nên $b\,\text{//}\left( \beta \right)$. Theo định lí 1 bài hai mặt phẳng song song, thì $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$. DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng \[(\alpha )\] và \[(\beta )\] song song nhau là: – Bước 1: Chứng minh mặt phẳng \[(\alpha )\] chứa hai đường thẳng \[a,b\] cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng \[{a}’,{b}’\] cắt nhau trong mặt phẳng \[(\beta )\]. – Bước 2: Kết luận \[(\alpha )\parallel (\beta )\] theo điều kiện cần và đủ. Phương pháp 2 – Bước 1: Tìm hai đường thẳng \[a,b\] cắt nhau trong mặt phẳng \[(\alpha )\]. – Bước 2: Lần lượt chứng minh \[a\parallel (\beta )\] và \[b\parallel (\beta )\] – Bước 3: Kết luận \[(\alpha )\parallel (\beta )\]. Câu 13: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Khẳng định nào sau đây SAI? [A]. $A{B}'{C}’D$ và ${A}’BC{D}’$ là hai hình bình hành có chung một đường trung bình. [B]. $B{D}’$ và ${B}'{C}’$ chéo nhau. [C]. ${A}’C$ và \[D{D}’\] chéo nhau. [D]. $D{C}’$ và $A{B}’$ chéo nhau.
Chọn [D]. $D{C}’$ và $A{B}’$ song song với nhau. Câu 14: Cho hình hộp\[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Mặt phẳng \[\left( A{B}'{D}’ \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? [A]. \[\left( BC{A}’ \right)\]. [B]. \[\left( B{C}’D \right)\]. [C]. \[\left( {A}'{C}’C \right)\]. [D]. \[\left( BD{A}’ \right)\].
Chọn [B]. Do \[AD{C}'{B}’\] là hình bình hành nên \[A{B}’\text{//}D{C}’\], và \[AB{C}'{D}’\] là hình bình hành nên \[A{D}’\text{//}B{C}’\] nên \[\left( A{B}'{D}’ \right)\text{//}\left( B{C}’D \right)\]. Câu 15: Cho hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Mặt phẳng $\left( M{A}'{C}’ \right)$ cắt hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\] theo thiết diện là hình gì? [A]. Hình tam giác. [B]. Hình ngũ giác. [C]. Hình lục giác. [D]. Hình thang.
Chọn [D]. Trong mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}’ \right)$, $AM$ cắt $B{B}’$ tại $I$ Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ và ${C}’I$. Do $BN\text{//}{B}’C$ và $B$ là trung điểm ${B}’I$ nên $N$ là trung điểm của ${C}’I$. Suy ra: tam giác $I{A}'{C}’$ có $MN$ là đường trung bình. Ta có mặt phẳng $\left( M{A}'{C}’ \right)$ cắt hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\] theo thiết diện là tứ giác ${A}’MN{C}’$ có $MN\text{//}{A}'{C}’$ Vậy thiết diện là hình thang ${A}’MN{C}’$. Cách khác: Ta có :$\left\{ \begin{align} & \left( ABCD \right)\text{//}\left( {A}'{B}'{C}'{D}’ \right) \\ & \left( {A}'{C}’M \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}'{D}’ \right)={A}'{C}’ \\ & \left( {A}'{C}’M \right)\cap \left( ABCD \right)=Mx \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow Mx\text{//}{A}'{C}’$, $M$ là trung điểm của $AB$ nên $Mx$ cắt $BC$ tại trung điểm $N$.Thiết diện là tứ giác ${A}'{C}’NM$. Câu 16: Cho hình bình hành \[ABCD\]. Vẽ các tia \[Ax,By,Cz,Dt\] song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp\[\left( ABCD \right)\]. Mp $\left( \alpha \right)$ cắt \[Ax,By,Cz,Dt\] lần lượt tại\[{A}’,{B}’,{C}’,{D}’\]. Khẳng định nào sau đây sai? [A]. \[{A}'{B}'{C}'{D}’\] là hình bình hành. [B]. mp\[\left( A{A}'{B}’B \right)\text{// }\left( D{D}'{C}’C \right)\]. [C]. \[A{A}’=C{C}’\] và \[B{B}’=D{D}’\]. [D]. \[O{O}’\text{// }A{A}’\]. ($O$ là tâm hình bình hành \[ABCD\], \[{O}’\] là giao điểm của \[{A}'{C}’\] và\[{B}'{D}’\]).
Chọn [C]. $\left. \begin{align} & AB\,\,\text{//}\,\,DC \\ & A{A}’\,\,\text{//}D{D}’ \\ & AB,A{A}’\subset \left( AB{B}'{A}’ \right) \\ & DC,D{D}’\subset \left( D{D}'{C}’C \right) \\ \end{align} \right\}$$\Rightarrow \left( AB{B}'{A}’ \right)\,\,\text{//}\,\,\left( D{D}'{C}’C \right)$. Câu B đúng. Mặt khác $\left. \begin{align} & \left( \alpha \right)\cap \left( AB{B}'{A}’ \right)={A}'{B}’ \\ & \left( \alpha \right)\cap \left( DC{C}'{D}’ \right)={C}'{D}’ \\ & \left( AB{B}'{A}’ \right)\,\text{//}\,\left( DC{C}'{D}’ \right) \\ \end{align} \right\}$$\Rightarrow {A}'{B}’\,\,\text{//}\,\,{C}'{D}’$ $\left. \begin{align} & \left( \alpha \right)\cap \left( AD{D}'{A}’ \right)={A}'{D}’ \\ & \left( \alpha \right)\cap \left( BC{C}'{B}’ \right)={C}'{B}’ \\ & \left( AB{B}'{A}’ \right)\,\text{//}\,\left( DC{C}'{D}’ \right) \\ \end{align} \right\}$$\Rightarrow {A}'{D}’\,\,\text{//}\,\,{C}'{B}’$ Do đó câu A đúng. $O,{O}’$ lần lượt là trung điểm của $AC,{A}'{C}’$ nên $O{O}’$ là đường trung bình trong hình thang $A{A}'{C}’C$. Do đó \[O{O}’\text{// }A{A}’\]. Câu D đúng. Câu 17: Cho hình hộp\[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Người ta định nghĩa ‘Mặt chéo của hình hộp là mặt tạo bởi hai đường chéo của hình hộp đó’. Hỏi hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\] có mấy mặt chéo ? [A]. $4$. [B]. $6$. [C]. $8$. [D]. $10$.
Chọn [B]. Các mặt chéo của hình hộp là $\left( AD{C}'{B}’ \right);\left( {A}'{D}’CB \right);\left( AB{C}'{D}’ \right)$ $\left( DC{B}'{A}’ \right);\left( AC{C}'{A}’ \right);\left( BD{D}'{B}’ \right)$ Câu 18: Cho hình hộp\[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Mp\[(\alpha )\] qua \[AB\] cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? [A]. Hình bình hành. [B]. Hình thoi. [C]. Hình vuông. [D]. Hình chữ nhật.
Câu 19: Cho hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Gọi $O$ và \[{O}’\] lần lượt là tâm của \[AB{B}'{A}’\] và\[DC{C}'{D}’\].Khẳng định nào sau đây sai ? [A]. \[\overrightarrow{O{O}’}=\overrightarrow{AD}\]. [B]. $O{O}’\text{//}\left( AD{D}'{A}’ \right)$. [C]. \[O{O}’\] và \[B{B}’\] cùng ở trong một mặt phẳng. [D]. $O{O}’$ là đường trung bình của hình bình hành \[AD{C}'{B}’\].
Chọn [C]. $AD{C}'{B}’$ là hình bình hành có $O{O}’$ là đường trung bình nên \[\overrightarrow{O{O}’}=\overrightarrow{AD}\]. Đáp án A, D đúng. $O{O}’\text{//}AD$ nên $O{O}’\text{//}\left( AD{D}'{A}’ \right)$. Đáp án B đúng. Câu 20: Cho hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Gọi $I$ là trung điểm \[AB\]. Mp\[\left( I{B}'{D}’ \right)\] cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? [A]. Tam giác. [B]. Hình thang. [C]. Hình bình hành. [D]. Hình chữ nhật.
Chọn [B]. $\left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( A{A}'{B}’B \right)=I{B}’$. $\left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}'{D}’ \right)={B}'{D}’$. $\left. \begin{align} & I\in \left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( ABCD \right) \\ & {B}'{D}’\text{//}BD \\ & {B}'{D}’\subset \left( {A}'{B}'{C}'{D}’ \right) \\ & BD\subset \left( ABCD \right) \\ \end{align} \right\}$$\Rightarrow \left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( ABCD \right)=d$ với $d$ là đường thẳng qua $I$và song song với $BD$. Gọi $J$ là trung điểm của $AD$. Khi đó $\left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( ABCD \right)=IJ$. $\left( I{B}'{D}’ \right)\cap \left( AD{D}'{A}’ \right)=J{D}’$. Thiết diện cần tìm là hình thang $IJ{D}'{B}’$ với $IJ\text{//}{D}'{B}’$. Câu 21: Cho hình lăng trụ \[ABC.{A}'{B}'{C}’\]. Gọi \[M,{M}’\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và\[{B}'{C}’\]. \[G,{G}’\] lần lượt là trọng tâm tam giác \[ABC\] và\[{A}'{B}'{C}’\]. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? [A]. \[A,G,{G}’,{C}’\]. [B]. \[A,G,{M}’,{B}’\]. [C]. \[{A}’,{G}’,M,C\]. [D]. \[A,{G}’,{M}’,G\].
Chọn [D]. $M{M}’$ là đường trung bình trong hình bình hành $B{B}'{C}’C$ nên $M{M}’=B{B}’=A{A}’;M{M}’\,\text{//}\,B{B}’\,\text{//}\,A{A}’$ Do đó $A{A}'{M}’M$ là hình bình hành hay 4 điểm \[A,{G}’,{M}’,G\] đồng phẳng. Câu 22: Cho hình lăng trụ \[ABC.{A}'{B}'{C}’\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[B{B}’\] và\[C{C}’\],\[\Delta =\text{ }mp\left( AMN \right)\cap mp\left( {A}'{B}'{C}’ \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng ? [A]. \[\Delta \text{// }AB\]. [B]. \[\Delta \text{// }AC\]. [C]. \[\Delta \text{// }BC\]. [D]. \[\Delta \text{//}A{A}’\].
Chọn [C]. $MN$ là đường trung bình trong hình bình hành $BC{C}'{B}’$ nên $MN\text{//}{B}'{C}’$ \[\begin{align} & \Delta =\text{ }mp\left( AMN \right)\cap mp\left( {A}'{B}'{C}’ \right) \\ & MN\subset \left( AMN \right) \\ & {B}'{C}’\subset \left( {A}'{B}'{C}’ \right) \\ \end{align}\] Do đó $\Delta \text{//}BC$. Câu 23: Cho hình hộp \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\] có các cạnh bên\[A{A}’,B{B}’,C{C}’,D{D}’\]. Khẳng định nào sai ? [A]. \[\left( A{A}'{B}’B \right)\text{//}\left( D{D}'{C}’C \right)\]. [B]. \[\left( B{A}'{D}’ \right)\] và \[\left( AD{C}’ \right)\] cắt nhau. [C]. \[{A}'{B}’CD\] là hình bình hành. [D]. \[B{B}’DC\] là một tứ giác đều.
Chọn [D] Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp. $\left( B{A}'{D}’ \right)\equiv \left( B{A}'{D}’C \right);\left( AD{C}’ \right)\equiv \left( AD{C}'{B}’ \right)$ \[\left( B{A}'{D}’ \right)\]\[\cap \left( AD{C}’ \right)=ON\]. Câu B đúng. Do \[{B}’\notin \left( BDC \right)\] nên \[B{B}’DC\] không phải là tứ giác. Câu 24: Cho hình lăng trụ \[ABC.{A}'{B}'{C}’\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[{A}'{B}’\]. Đường thẳng \[{B}’C\] song song với mặt phẳng nào sau đây ? [A]. \[\left( AH{C}’ \right)\]. [B]. \[\left( A{A}’H \right)\]. [C]. \[\left( HAB \right)\]. [D]. \[\left( H{A}'{C}’ \right)\].
Chọn [A]. Gọi $K$ là giao điểm của ${B}’C$ và $B{C}’$, $I$ là trung điểm của $AB$. Do $H{B}’=AI;H{B}’\text{//}AI$ nên $AH{B}’I$ là hình bình hành hay $AH\text{//}{B}’I$. Mặt khác $KI\text{//}A{C}’$ nên $\left( AH{C}’ \right)\text{//}\left( {B}’CI \right)$. Khi đó : ${B}’C\text{//}\left( AH{C}’ \right)$ Câu 25: Cho hình hộp\[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Mp$\left( \alpha \right)$ đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình hộp theo thiết diện là một tứ giác \[\left( T \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng ? [A]. \[\left( T \right)\] là hình chữ nhật. [B]. \[\left( T \right)\] là hình bình hành. [C]. \[\left( T \right)\] là hình thoi. [D]. \[\left( T \right)\] là hình vuông.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA \[\left( \alpha \right)\] VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT \[\left( \alpha \right)\] VỚI MỘT MẶT PHẲNG \[\left( \beta \right)\] CHO TRƯỚC.
Phương pháp: – Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau. – Khi \[\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\]thì \[\left( \alpha \right)\] sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong \[\left( \beta \right)\]và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3) Sử dụng \[\left\{ \begin{align} & \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \\ & \left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right) \\ & \left( \beta \right)\cap \left( \gamma \right)=d \\ & M\in \left( \alpha \right)\cap \left( \gamma \right) \\ \end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( \gamma \right)=d’\parallel d,M\in d’\]. – Tìm đường thẳng \[d\] mằn trong \[\left( \beta \right)\] và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa \[d\], khi đó \[\left( \alpha \right)\parallel d\] nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa \[d\]( nếu có) theo các giao tuyến song song với \[d\]. Câu 26: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[MN\] và song song với mặt phẳng \[\left( SAD \right)\].Thiết diện là hình gì? [A]. Tam giác [B]. Hình thang [C]. Hình bình hành [D]. Tứ giác
Ta có \[\left\{ \begin{align} & M\in \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\ \end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=MK\parallel SA,K\in SB\]. Tương tự \[\left\{ \begin{align} & N\in \left( SCD \right)\cap \left( \alpha \right) \\ & \left( \alpha \right)\parallel \left( SAD \right) \\ & \left( SCD \right)\cap \left( SAD \right)=SD \\ \end{align} \right.\] \[\Rightarrow \left( SCD \right)\cap \left( \alpha \right)=NH\parallel SD,H\in SC\]. Dễ thấy \[HK=\left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)\]. Thiết diện là tứ giác \[MNHK\] Ba mặt phẳng \[\left( ABCD \right),\left( SBC \right)\] và \[\left( \alpha \right)\] đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \[MN,HK,BC\], mà \[MN\parallel BC\Rightarrow MN\parallel HK\]. Vậy thiết diện là một hình thang. Câu 27: Cho hìh chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\] có \[AC=a,BD=b\]. Tam giác \[SBD\] là tam giác đều. Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] di động song song với mặt phẳng \[\left( SBD \right)\] và đi qua điểm \[I\] trên đoạn \[AC\]và \[AI=x\text{ }\left( 0 a) thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( \alpha \right)\] là hình gi? [A]. Tam giác [B]. Tứ giác [C]. Hình thang [D]. Hình bình hành b) Tính diện tích thiết diện theo \[a,b\] và \[x\]. a) Trường hợp 1 Xét \[I\] thuộc đoạn \[OA\] Ta có \[\left\{ \begin{align} & I\in \left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right) \\ & \left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right) \\ & \left( ABD \right)\cap \left( SBD \right)=BD \\ \end{align} \right.\] \[\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)=MN\parallel BD,I\in MN\]. Tương tự \[\left\{ \begin{align} & N\in \left( \alpha \right)\cap \left( SAD \right) \\ & \left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right) \\ & \left( SAD \right)\cap \left( SBD \right)=SD \\ \end{align} \right.\] \[\Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( \alpha \right)=NP\parallel SD,P\in SN\]. Thiết diện là tam giác \[MNP\]. Do \[\left\{ \begin{align} & \left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( SBD \right)=SB \\ & \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=MP \\ \end{align} \right.\Rightarrow MP\parallel SB\]. Hai tam giác \[MNP\] và \[BDS\] có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà \[BDS\]đều nên tam giác \[MNP\] đều. Trường hợp 2 Điểm \[I\] thuộc đoạn \[OC\], tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều \[HKL\] như \[\left( hv \right)\]. b) Trường hợp 1 \[I\] thuộc đoạn \[OA\] Ta có \[{{S}_{BCD}}=\dfrac{B{{D}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{b}^{2}}\sqrt{3}}{4}\], \[\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}={{\left( \dfrac{MN}{BD} \right)}^{2}}\] Do \[MN\parallel BD\Rightarrow \dfrac{MN}{BD}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{2x}{a}\]\[\Rightarrow {{S}_{MNP}}={{\left( \dfrac{2x}{a} \right)}^{2}}{{S}_{BCD}}=\dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}}\]. Trường hợp 2 \[I\] thuộc đoạn \[OC\], tính tương tự ta có \[{{S}_{MNP}}={{\left( \dfrac{HL}{BD} \right)}^{2}}{{S}_{BCD}}={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }\dfrac{2\left( a-x \right)}{a}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}\dfrac{{{b}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{b}^{2}}{{\left( a-x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}}\]. Vậy \[{{S}_{td}}=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}};I\in (OA) \\ & \dfrac{{{b}^{2}}{{\left( a-x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}};I\in \left( OC \right) \\ \end{align} \right.\]. Câu 28: Cho tứ diện \[ABCD\] và \[M,N\] là các điểm thay trên các cạnh \[AB,CD\] sao cho \[\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{CN}{ND}\]. a) Chứng minh \[MN\] luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. [A]. Tam giác [B]. Tứ giác [C]. Hình thang [D]. Hình bình hành c) Tính theo \[k\] tỉ số diện tích tam giác \[MNP\] và diện tích thiết diện. [A]. $\dfrac{k}{k+1}$ [B]. $\dfrac{2k}{k+1}$ [C]. $\dfrac{1}{k}$ [D]. $\dfrac{1}{k+1}$
a) Do \[\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{CN}{ND}\] nên theo định lí Thales thì các đường thẳng \[MN,AC,BD\] cùng song song với một mặt phẳng \[\left( \beta \right)\].Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng đi qua \[AC\] và song song với \[BD\]thì \[\left( \alpha \right)\] cố định và \[\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\]suy ra \[MN\] luôn song song với \[\left( \alpha \right)\] cố định. Ta có : \[\left\{ \begin{align} & N\in \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right) \\ & BC\parallel \left( MNP \right) \\ & BC\subset \left( BCD \right) \\ \end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left( BCD \right)\cap \left( MNP \right)=NQ\parallel BC,Q\in BD\]. Thiết diện là tứ giác \[MPNQ\].Xét trường hợp \[\dfrac{AP}{PC}\ne k\] Trong \[\left( ABC \right)\]gọi \[R=BC\cap MP\] Trong \[\left( BCD \right)\] gọi \[Q=NR\cap BD\] thì thiết diện là tứ giác \[MPNQ\]. Gọi \[K=MN\cap PQ\] Ta có \[\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{MPNQ}}}=\dfrac{PK}{PQ}\]. Do \[\dfrac{AM}{NB}=\dfrac{CN}{ND}\] nên theo định lí Thales đảo thì \[AC,NM,BD\] lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng \[PQ\] cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại \[P,K,Q\] nên áp dụng định lí Thales ta được \[\dfrac{PK}{KQ}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{CN}{ND}=k\]\[\Rightarrow \dfrac{PK}{PQ}=\dfrac{PK}{PK+KQ}=\dfrac{\dfrac{PK}{KQ}}{\dfrac{PK}{KQ}+1}=\dfrac{k}{k+1}\]. |
