Phương trình đường tròn khai triển

Phương trình đường tròn là một phần kiến thức của chương trình hình học lớp 10. Nhìn chung, phần kiến thức này khá đơn giản, dễ hiểu, do vậy, bạn cần để tâm 1 chút là có thể nắm vững. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn phần lý thuyết, các công thức và cách giải các dạng bài tập về phương trình đường tròn một cách đầy đủ, ngắn gọn, chi tiết và dễ hiểu.

Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là:

(x – a)2 – (y – b)2 = R2

Nếu a2 + b2 – c  > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính:

Nếu a2 + b2 – c  = 0 thì chỉ có 1 điểm M(x; y) thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Nếu a2 + b2 – c  < 0 thì không có điểm M(x; y) nào thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm Mo(xo; yo) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại Mo có phương trình:

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn

Cách 1:

• Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)
• Tìm bán kính R của (C)
• Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

• (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
• (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
• (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách 2:

• Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)
• Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc đường tròn (C)

• Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)
• Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(xo;yo) có dạng:

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

Trên đây là những kiến thức cơ bản của phương trình đường tròn. Nếu bạn có thắc mắc gì về các kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé!

- Phương trình chính tắc của đường tròn $\left( C \right)$ tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là:\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
- Dạng khai triển của $\left( C \right)$ là: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0{\rm{ }}$với $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$

- Phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0{\rm{ }}$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} - c > 0$, là phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)- Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\):+ thuộc đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\).+ nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM > R\).

+ nằm trong đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM < R\).

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - {\rm{ }}1;3} \right)\) bán kính 7.

Giải

Phương trình đường tròn tâm I(− 1 ; 3) bán kính 7 là

\({\left[ {x - \left( { - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {7^2}{\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 49.\)

– Phương trình đường tròn $\left( C \right)$  tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là:\({(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}\)

– Dạng khai triển của $\left( C \right)$ là: ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0{\rm{ }}$với  $c = {a^2} + {b^2} – {R^2}$

– Phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0{\rm{ }}$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} – c > 0$, là phương trình đường tròn tâm \(I\left( { – a; – b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

– Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\):

+ thuộc đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\).

+ nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM > R\).

+ nằm trong đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM < R\).

Phương pháp:

Muốn viết được phương trình đường tròn ta cần xác định tâm và bán kính đường tròn rồi sử dụng kiến thức:

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$  tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là: \({(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}\)

Một số dạng viết phương trình đường tròn thường gặp:

– Đường tròn biết tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) đã cho: \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(IM\).

– Đường tròn biết đường kính \(AB\): \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = IA\).

– Đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\):

+ Gọi \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\).

+ Lập hệ phương trình \(IA = IB = IC\) tìm \(a,b \Rightarrow R = IA\).

– Đường tròn có tâm \(I\) thuộc đường thẳng cho trước và đi qua hai điểm \(A,B\):

+ Đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số (nếu cần) và gọi tọa độ \(I\) theo tham số.

+ Giải phương trình \(IA = IB\) tìm \(I\) và \(R = IA\).

• Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) là :

$${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$$

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn  \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)  có thể được viết dưới dạng 

$${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$

trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\)

\( \Rightarrow \) Điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \((C)\) là: \({a^2} + {b^2}-c>0\). Khi đó, đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\)

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm  \(I(a; b)\).Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\)

Ta có \(M_0\) thuộc \(∆\) và vectơ \(\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)\) là vectơ  pháp tuyến cuả \( ∆\)

Do đó  \(∆\) có phương trình là:

$({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$      (1)

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)  tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.

Loigiaihay.com