Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến
Một phương trình chứa ít nhất một hệ số vi phân hoặc đạo hàm của một biến chưa biết được gọi là phương trình vi phân. Một phương trình vi phân có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến tính. Phạm vi của bài viết này là để giải thích phương trình vi phân tuyến tính là gì, phương trình vi phân phi tuyến là gì và sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến là gì.
Kể từ khi phát triển tính toán vào thế kỷ 18 bởi các nhà toán học như Newton và Leibnitz, phương trình vi phân đã đóng một vai trò quan trọng trong câu chuyện toán học. Các phương trình vi phân có tầm quan trọng lớn trong toán học vì phạm vi ứng dụng của chúng. Phương trình vi phân là trung tâm của mọi mô hình chúng tôi phát triển để giải thích bất kỳ kịch bản hoặc sự kiện nào trên thế giới cho dù đó là trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, thống kê, phân tích tài chính hoặc sinh học [danh sách là vô tận]. Trong thực tế, cho đến khi tính toán trở thành một lý thuyết đã được thiết lập, các công cụ toán học thích hợp không có sẵn để phân tích các vấn đề thú vị trong tự nhiên.
Kết quả phương trình từ một ứng dụng cụ thể của phép tính có thể rất phức tạp và đôi khi không thể giải được. Tuy nhiên, có những cái mà chúng ta có thể giải quyết, nhưng có thể trông giống nhau và khó hiểu. Do đó, để phương trình vi phân nhận dạng dễ dàng hơn được phân loại theo hành vi toán học của chúng. Tuyến tính và phi tuyến là một trong những phân loại như vậy. Điều quan trọng là xác định sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến.
Phương trình vi phân tuyến tính là gì?
Giả sử rằng f: X → Y và f [x] = y, a phương trình vi phân không có các điều khoản phi tuyến của hàm chưa biết y và các dẫn xuất của nó được gọi là một phương trình vi phân tuyến tính.
Nó đặt ra điều kiện là y không thể có các thuật ngữ chỉ mục cao hơn như y2, y3,Nhiều và nhiều dẫn xuất như
Nó cũng không thể chứa các thuật ngữ phi tuyến tính như Sin y, ey^ -2, hoặc ln y. Nó có hình thức,
Ở đâu y và g là các chức năng của x. Phương trình là một phương trình vi phân của thứ tự n, đó là chỉ số của đạo hàm bậc cao nhất.
Trong một phương trình vi phân tuyến tính, toán tử vi phân là một toán tử tuyến tính và các giải pháp tạo thành một không gian vectơ. Do tính chất tuyến tính của tập hợp giải pháp, sự kết hợp tuyến tính của các giải pháp cũng là một giải pháp cho phương trình vi phân. Đó là, nếu y1 và y2 là các nghiệm của phương trình vi phân, sau đó C1 y1+ C2 y2 cũng là một giải pháp.
Tính tuyến tính của phương trình chỉ là một tham số của phân loại, và nó có thể được phân loại thành các phương trình vi phân đồng nhất hoặc không đồng nhất và thông thường hoặc một phần. Nếu chức năng là g= 0 thì phương trình là phương trình vi phân đồng nhất tuyến tính. Nếu f là một hàm của hai hoặc nhiều biến độc lập [f: X, T → Y] và f [x, t] = y , thì phương trình là phương trình vi phân một phần tuyến tính.
Phương pháp giải cho phương trình vi phân phụ thuộc vào loại và hệ số của phương trình vi phân. Trường hợp dễ nhất phát sinh khi các hệ số không đổi. Ví dụ kinh điển cho trường hợp này là định luật chuyển động thứ hai của Newton và các ứng dụng khác nhau của nó. Định luật thứ hai của Newton tạo ra một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai với các hệ số không đổi.
Phương trình vi phân phi tuyến là gì?
Các phương trình chứa các số hạng phi tuyến được gọi là phương trình vi phân phi tuyến tính.
Tất cả ở trên là phương trình vi phân phi tuyến. Phương trình vi phân phi tuyến rất khó giải, do đó, cần có nghiên cứu chặt chẽ để có được một giải pháp chính xác. Trong trường hợp phương trình vi phân từng phần, hầu hết các phương trình không có nghiệm chung. Do đó, mỗi phương trình phải được xử lý độc lập.
Phương trình Navier-Stokes và phương trình Euler trong động lực học chất lỏng, phương trình tương đối trường của Einstein là phương trình vi phân từng phần phi tuyến nổi tiếng. Đôi khi việc áp dụng phương trình Lagrange cho một hệ thống biến có thể dẫn đến một hệ phương trình vi phân một phần phi tuyến.
Sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến?
• Một phương trình vi phân, chỉ có các số hạng tuyến tính của biến chưa biết hoặc biến phụ thuộc và các đạo hàm của nó, được gọi là phương trình vi phân tuyến tính. Nó không có thuật ngữ với biến phụ thuộc của chỉ số cao hơn 1 và không chứa bất kỳ bội số nào của nó. Nó không thể có các hàm phi tuyến như hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm logarit đối với biến phụ thuộc. Bất kỳ phương trình vi phân có chứa các điều khoản đã đề cập ở trên là một phương trình vi phân phi tuyến.
• Giải pháp của phương trình vi phân tuyến tính tạo không gian vectơ và toán tử vi phân cũng là toán tử tuyến tính trong không gian vectơ.
• Các giải pháp của phương trình vi phân tuyến tính là tương đối dễ dàng hơn và các giải pháp chung tồn tại. Đối với các phương trình phi tuyến, trong hầu hết các trường hợp, giải pháp chung không tồn tại và giải pháp có thể là vấn đề cụ thể. Điều này làm cho giải pháp khó khăn hơn nhiều so với các phương trình tuyến tính.