Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 10Chương 1 SAI SỐ Approximate numbers 1. 1 Sai số tuyệt đối Gọi a là giá trị gần đúng của A, ta viết được A = a ± ∆a ∆a : gọi là sai số tuyệt đối giới hạn 1.2 Sai số tương đối δa = aa∆ , dạng khác: A = a [1 ± δa] Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ “chất lượng“ của 1 số xấp xỉ, chất lượng ấy được phản ảnh qua sai số tương đối. 1.3 Cách viết số xấp xỉ + Chữ số có nghĩa: Đó là chữ số ≠ 0 đầu tiên tính từ trái sang phải Ví dụ: 002,74 → 2,74 00,0207 → 0,0207 + Chữ số đáng tin: Một số a có thể được viết a = ± ss10∑α 65,807 = 6.101 + 5.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 7.10-3 Vậy α1 = 6 , α0 =5 , α -1 = 8 , α -2 =0 , α -3 = 7 Nếu ∆a ≤ 0,5.10S thì αS là chữ số đáng tin. Nếu ∆a > 0,5.10S thì αS là chữ số đáng nghi. Ví dụ: a = 65,8274 ; ∆a = 0,0043 → Chữ số 6,5,8,2 đáng tin ∆a = 0,0067 → Chữ số 6,5,8 đáng tin 1.4 Sai số quy tròn: Quy tắc quy tròn Chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5: Thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng 1 đơn vị Chữ số bỏ đi đầu tiên < 5: Để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng Ví Dụ: 65,8274 → 65,827 ; 65,827 → 65,83 1.5 Sai số của số đã quy tròn: Giả sử quy tròn a thành a’ với sai số quy tròn tuyệt đối θa’ ≤−a'a θa’ thì ∆a’ = ∆a + θa’ [tức tăng sai số tuyệt đối] 1.6 Ảnh hưởng của sai số quy tròn : Ap dụng nhị thức Newton, ta có: []2237833631210−=− Bây giờ thay 2 bởi các số quy tròn khác nhau: 2 Vế trái Vế phải 1,4 0,0001048576 33,8 1,41 0,00013422659 10,02 1,414 0,000147912 0,508 1,41426 0,00014866394 0,00862 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 111,4142613563 0,00014867678 0,001472 1.8 Các quy tắc tính sai số Xét hàm số: u = f[x,y] Ta ký hiệu ∆x , ∆y, ∆u : chỉ các số gia của x, y, u dx , dy , du : chỉ các vi phân của x , y, u ∆X , ∆Y, ∆U : sai số tuyệt đối của x, y, u Ta luôn có: yyxX∆≤∆∆≤∆ Ta phải tìm ∆U để có: Uu ∆≤∆ Sai số của tổng: u = x + y Ta có ∆u = ∆x + ∆y → yxu ∆+∆≤∆ →[]YXYXu+∆≡∆+∆≤∆ + Nếu u = x – y với x, y cùng dấu: δU = yxuYXU−∆+∆=∆ nếu yx − là rất bé thì sai số rất lớn. + Nếu u = x.y → ∆u ≈ du = ydx + xdy = y∆x + x∆y YXUYXxyxyu ∆+∆=∆⇒∆+∆≤∆ Do đó : δU = =∆+∆=∆yxuYXU δX + δY + Nếu u = yx, với y ≠ 0, δU = δX + δY Công thức tổng quát: u = f[x1 , x2 , x3, , xn] Thì: ∆U = iXin1ixf∆∂∂∑= 1.9 Sai số tính toán và sai số phương pháp Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản [phương pháp gần đúng] → tạo ra sai số phương pháp. Sai số tạo ra bởi tất cả các lần quy tròn → sai số tính toán. 1.10 Sự ổn định của quá trình tính Ta nói quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán, tức là các sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn [ta sẽ gặp lại vấn đề nầy ở phương pháp sai phân]. Ví dụ: Tìm sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu. V= 3.61dπ. Nếu đường kính d=3,7cm±0,05 và π=3,14. Biết d∆=0,05, π∆=0,0016. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 12 Giải: Xem π và d là đối số của hàm V Ta có: dvδδδπ3+= Với: πδ= 0005,014,30016,0= dδ= 0135,07,305,0= vδ⇒ = 0,0005+3.0,0135 = 0,04. Mặt khác: V = 3.61dπ = 26,5cm3. Vậy có: v∆= 26,5.0,04 = 1,06≈1,1cm3. V = 26,5±1,1 cm3 Câu hỏi: 1. Định nghĩa sai số tuyệt đối, sai số tương đối ? Trong thực tế tính toán, người ta sử dụng sai số tuyệt đối hay sai số tương đối ? Vì sao ? 2. Trình bày các quy tắc tính sai số? 3. Nêu sự khác nhau giữa sai số tính toán và sai số phương pháp? Hãy nêu ra một quá trình tính có số liệu cụ thể minh họa và chỉ ra sai số tính toán và sai số phương pháp ? 4. Đưa ra vài ví dụ tính toán, chỉ ra sự cần thiết phải chú ý đến sai số qui tròn ? Bài tập: 1] Hãy xác định chữ số tin tưởng trong các số sau: a] x= 0,3941 với x∆ = 0,25.10-2 b] y=0,1132 với y∆= 0,1.10-3 c] z=38,2543 với z∆ = 0,27.10-2 2] Hãy xác định sai số tuyệt đối, biết sai số tương đối của các số xấp xỉ sau: a] x=13267 nếu xδ=0,1% b] x=0,896 nếu yδ=10% 3] Hãy qui tròn các số dưới đây để có được 3 chữ số tin tưởng và xác định sai số tuyệt đối ∆và sai số tương đối δcủa chúng: a] x=2,1514 b] y=0,16152 c] z=1,1225 d] v=0,01204 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 134] Hãy tính thương u=x1/x2 của hai số xấp xỉ: x1=5,735; x2 = 1,23 và xác định sai số tương đối giới hạn uδ, và sai số tuyệt đối giới hạn u∆ 5] Hãy xác định sai số tương đối giới hạn aδ, sai số tuyệt đối giới hạn a∆ và số chữ số đáng tin của cạnh a của hình vuông, biết diện tích hình vuông s=16,45cm2 vớis∆ =0,01 Đáp số: 1] a] 2; b] 3; c]4 2] a] x∆=0,13.102 b] y∆=0,9.10-1 3] a] 2,15; x∆=0,14.10-2; xδ=0,65.10-3 b] 0,162; y∆ = 0,48.10-3; yδ= 0,3.10-2 c] 1,23; z∆ =0,5.10-2; zδ=0,41.10-2 d] 0,0120; v∆= 0,4.10-4; vδ=0,33.10-2 4] u=4,66; uδ≈ 0,0042; u∆≈0,02 5] a = x=4,056cm; aδ0003,0≈; a∆≈0,0012; a có ba chữ số đáng tin TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXBGD, 1997 2. Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp số, Đại học Đà Nẵng 1996. 3. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, NXB KHKT, Hà Nội 1999. 4. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, NXB KHKT, Hà Nội 2000. 5. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 6. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 7. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 8. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 9. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham khảo: //ocw.mit.edu/index.html //ebookee.com.cn //www.info.sciencedirect.com/books //dspace.mit.edu //www.dbebooks.com The end
Trong tất cả các phép đo, làm tròn kết quả tính toán, tính toán hiệu suất khá phức tạp không tránh khỏi nảy sinh một sự sai lệch nhất định. Để đánh giá chính xác như vậy thông thường sử dụng hai chỉ số - một sai số tuyệt đối và tương đối.
Δx = | x * - x |, đây
x * - giá trị thực sự,
x - giá trị tương đối.
Tuy nhiên, để mô tả chính xác của chỉ số này là không đủ. Thẩm phán cho chính mình nếu trọng lượng của lỗi là 0,2 gram, thì cân nặng của hóa chất cho mikrosinteza nó sẽ rất nhiều trong nặng 200 gram của xúc xích là hoàn toàn bình thường, và cô ấy không thể được nhìn thấy trong các phép đo trọng lượng của chiếc xe đường sắt. Vì vậy, thường xuyên với các quốc gia tuyệt đối hay cũng tính sai số tương đối. Công thức của các chỉ số như sau:
δx = Δx / | x * |.
Độ lệch tuyệt đối của 200-196 = 4. Các sai số tương đối sẽ được làm tròn hoặc 4/196, 4/196 = 2%.
Vì vậy, nếu chúng ta biết giá trị thực sự của một giá trị nhất định, sai số tương đối của các giá trị xấp xỉ nhận là tỷ lệ giá trị tuyệt đối của độ lệch xấp xỉ với giá trị chính xác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để xác định giá trị hiện tại thực sự là rất khó khăn và đôi khi thậm chí không thể. Và, do đó, nó là không thể để tính toán chính xác giá trị của lỗi. Tuy nhiên, bạn luôn có thể xác định một con số đó sẽ luôn luôn là hơi lớn hơn sai số tuyệt đối hay tương đối tối đa.
Ví dụ, người bán đang cân nhắc một dưa trên một sự cân bằng chùm tia. Trong trường hợp này, trọng lượng nhỏ nhất là 50 gram. Libra 2000 gram. Đây là một giá trị tương đối. dưa trọng lượng chính xác là không rõ. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng sai số tuyệt đối không thể có nhiều hơn 50 gram. Sau đó, họ hàng lỗi trong đo trọng lượng không lớn hơn 50/2000 = 2,5%.
Giá trị của giới hạn chính xác là không đúng chỉ định. Vì vậy, thay vì 50 gram chúng ta có thể lấy bất kỳ số lớn hơn trọng lượng của trọng lượng thấp hơn, nói 100 g hoặc 150 g, tuy nhiên, trong thực tế, giá trị nhỏ nhất được chọn. Và nếu chúng ta có thể xác định đó là chính xác những gì và sẽ đồng thời đóng vai trò là lỗi giới hạn.
Nó như vậy sẽ xảy ra rằng các lỗi giới hạn tuyệt đối không được xác định. Sau đó, chúng ta phải thừa nhận rằng nó tương đương với một nửa số đơn vị cuối cùng của xả này [nếu một số] hoặc đơn vị tối thiểu của bộ phận [nếu công cụ]. Ví dụ, trong phạm vi milimet giá trị này là 0,5 mm, và một xấp xỉ số 3,65 độ lệch tối đa tuyệt đối là 0.005.
Nếu số gần đúng a có giá trị đúng là a0 thì ta nói a xấp xỉ a0 hay a là số gần đúng của a0. Khi đó sai số của a là
Ea= a-a0 [1.1]
Nhưng giá trị này nói chung ta không biết được mà chỉ ước lượng được cận trên của giá trị tuyết đối của nó.
Định nghĩa. Giá trị ước lượng Δa sao cho:
| a-a0| ≤ Δa [1.2]
được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn là rất khó và nhiều khi không cần thiết nên người ta chỉ cần ước lượng sai số tuyệt đối đủ nhỏ và dùng từ 1 đến 3 chữ số có nghĩa [là số chữ số bắt đầu từ chữ số khác không đầu tiên từ trái sang phải] để biểu diễn sai số tuyệt đối của số gần đúng.
Thay cho biểu thức [1.2] người ta còn dùng biểu diễn sau để chỉ sai số tuyệt đối:
a= a0 ± Δa [1.3]
Ví dụ: Một mảnh đất hình chữ nhất có chiều dài d=15,45m và chiều rộng r=3,94m với sai số 1cm. Khi đó ta hiểu là:
Δd=0,01m hay d = 15,45m ± 0,01m
Δr=0,01m hay r = 3,94m ± 0,01m
Khi đó diện tích của mảnh đất được tính là:
S=d.r = 15,45 . 3,94 m = 60,873 m2
với cận trên là [15,45+0,01] .[3,94+0,01] = 61,067 m2
và cận dưới là [15,45-0,01] [3,94-0,01] = 60,679m2
hay 60,679 ≤ S ≤ 61,067
Vậy ước lượng sai số tuyệt đối của S là:
| S-S0| ≤0,194 m2
hay làm tròn 0,2 m2
Hai số gần đúng có sai số tuyệt đối bằng nhau sẽ có “mức độ chính xác khác nhau nếu số độ lớn của chúng khác nhau. Số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn.
Định nghĩa: Sai số tương đối của số gần đúng a [được ký hiệu là δa] là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó:
δa=Δa∣a∣ size 12{δa=` { {Δa} over { \lline a \lline } } } {} [1.4]
Thường sai số tương đối được biễu diễn dưới dạng % với 2 hoặc 3 chữ số.
Dễ thấy:
Δa = |a| δa [1.5]
nên chỉ cần biết một trong hai loại sai số là tính đợc loại kia.
Ví dụ: Nếu a=57 và Δa = 0,5 thì δa= 0,0087719 hoặc 0,88%