Số giá trị nguyên dương của tham số thỏa để bất phương trình có ít nhất nghiệm nguyên là
|
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021 Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT ĐỀ BÀI: Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) bất phương trình\(\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)\left( {{3^x} – a} \right) < 0\) có ít nhất một nghiệm nguyên và nhiều nhất \(5\) nghiệm nguyên? A. \(19610\). B. \(19445\). C. \(19443\). D. \(19446\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Điều kiện: \(x > 0\). Ta có: \(\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)\left( {{3^x} – a} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{3^x} > a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x > 1\\{3^x} < a\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.;\,\left( {{\rm{do }}a \in {\mathbb{Z}^ + }\,} \right)\). + Nếu \(a = 27\) thì,đều vô nghiệm nênvô nghiệm. + Nếu \(a > 27\) thìvô nghiệm. Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( {3;{{\log }_3}a} \right)\). Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 4 < {\log _3}a \le 9 \Leftrightarrow {3^4} < a \le {3^9}\)\( \Leftrightarrow \)\(81 < a \le 19683\). Do \(a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {82;\,83;\,…;19683} \right\} \Rightarrow \) có \(19602\) số \(a\). + Nếu \(a < 27\) thìvô nghiệm. Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( {{{\log }_3}a;3} \right)\). Vì \(x > 0\) nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {\log _3}a < 2 \Leftrightarrow a < 9\). Do \(a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;…;8} \right\} \Rightarrow \) có 8 số \(a\). Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán có \(19602 + 8 = 19610\) giá trị.
Có bao nhiêu \(m\) nguyên dương để bất phương trình \({3^{2x + 2}} - {3^x}\left( {{3^{m + 2}} + 1} \right) + {3^m} < 0\) có không quá 30 nghiệm nguyên?
A. B. C. D.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{3^{x + 2}} - \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} - 2m} \right) < 0\) chứa không quá 9 số nguyên?
A. B. C. D.
Ta có \({{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)\left( {{3}^{x+2}}-1 \right)<0\). Do m là số nguyên dương nên \(m\ge 1\), suy ra \({{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0\) Vậy \(\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)\left( {{3}^{x+2}}-1 \right)<0\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0 \\ {{3}^{x+2}}-1>0 \\ \end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x Nên tập nghiệm của \({{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0\) là \(S=\left( -2;m \right)\), với m là số nguyên dương thỏa m<10. Khi đó \(S=\left( -2;m \right)\) có ít nhất 3 nghiệm nguyên thì $ Vậy có 8 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đề bài.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây ! Số câu hỏi: 49 Lời giải của GV Vungoi.vn \(\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0\) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - x}} - 9 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^{{x^2}}} - m \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} \le {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\). \( \Rightarrow \) Số nghiệm nguyên của bất phương trình (1) là 4 nghiệm, gồm \(\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\). Như vậy hệ có tối đa 4 nghiệm nguyên, hay bất phương trình ban đầu cũng chỉ có tối đa 4 nghiệm nguyên (Loại). TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - x}} - 9 \ge 0\,\,\,\,\left( {1'} \right)\\{2^{{x^2}}} - m \le 0\,\,\,\,\,\,\left( {2'} \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( {II} \right)\) \(\left( {1'} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\). \(\left( {2'} \right) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow {x^2} \le {\log _2}m \Leftrightarrow - \sqrt {{{\log }_2}m} \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m} \).  Để (II) có nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{{\log }_2}m} \le - 1\\\sqrt {{{\log }_2}m} \ge 2\end{array} \right.\). Mà bất phương trình ban đầu có 5 nghiệm nguyên nên các nghiệm đó bắt buộc phải là -3, -2, -1, 2, 3. Do đó \(\begin{array}{l} 3 \le \sqrt {{{\log }_2}m} < 4\\ \Leftrightarrow 9 \le {\log _2}m < 16\\ \Leftrightarrow 512 \le m < 65536\end{array}\) Vậy có \(65535 - 512 + 1 = 65024\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc hai ẩn \(t\). - Giải bất phương trình bậc hai tìm nghiệm \(t\), từ đó suy ra nghiệm \(x\). - Tìm điều kiện của \(m\) để bất phương trình có không quá 30 nghiệm nguyên.
Mã câu hỏi: 260842 Loại bài: Bài tập Chủ đề : Môn học: Toán Học Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
|
