Table of Contents
- 1. Khảo sát hàm số
- 1.1. Tìm tập xác định
- 1.2. Tìm nghiệm của hàm số
- 1.3. Bảng biến thiên
- 2. Vẽ đồ thị
Lập bảng biến thiên hàm số là dạng bài tập chắc chắn sẽ gặp trong các bài kiểm tra, bài thi của môn Toán. Các học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn cần vững phần thực hành, áp dụng vào các bài tập một cách thuần thục. Bài viết sau đây sẽ nêu lên ví dụ bài tập lập bảng biến thiên & khảo sát hàm số bất kì qua các bước cụ thể. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá.
1. Khảo sát hàm số
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4.
1.1. Tìm tập xác định
Tập xác định: D=R
1.2. Tìm nghiệm của hàm số
1.2.1. Cách giải phương trình bậc hai
Để tìm nghiệm của hàm số, cần nắm cách giải phương trình bậc hai như sau:
- Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0
- Với a ≠0
- a,b,c là các hằng số
- x là ẩn số
- Cách giải phương trình bậc hai:
- Định lý Vi-et thuận về nghiệm của phương trình bậc 2
Hai số x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx = c = 0 khi và chỉ khi
- Định lý Viet đảo về nghiệm của phương trình bậc 2
Nếu có 2 số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0.
1.2.2. Tìm nghiệm của hàm số theo hệ trục tọa độ: trục Ox, Oy
y’ = 3x2 + 6x
y’ = 0
⬄ 3x2 + 6x = 0
⬄ x[3x + 6] = 0
⬄ x = 0 và x = -2
Giao điểm với Ox: y = 0 => x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy: x = 0 => y = -4
Giới hạn :
1.3. Bảng biến thiên
1.3.1. Lý thuyết về bảng biến thiên
- Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số f[x] được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f[x1] < f[x2]
- Hàm số f[x] được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f[x1] > f[x2]
- Hàm số f[x] đồng biến [nghịch biến] trên K còn gọi là tăng [hay giảm ] trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Định lý
Cho hàm số y = f[x] xác định và có đạo hàm trên K
Định lý về dấu tam thức bậc hai
1.3.2. Lập bảng biến thiên để tìm các điểm của đồ thị hàm số
Điểm cực đại: x = -2, y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0, y = -4
Đạo hàm cấp 2: y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⬄ 6x + 6 = 0 ⬄ x=1
Điểm uốn I [1;-2]
Xem thêm: Sự biến thiên của hàm số & các dạng toán đặc trưng
2. Vẽ đồ thị
Trên đây là những bước giải bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cụ thể nhất. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích. Bạn có thể tìm hiểu về các kiến thức học tập khác trên VOH Giáo Dục.
I. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.
Bước 2: Khảo sát và lập bảng biến thiên :
+ Xét sự biến thiên của hàm số :
- Tìm đạo hàm bậc nhất y' ;
- Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định ;
- Xét dấu y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số .
+ Tìm cực trị .
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận [nếu có].
+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị.
II. Cách vẽ đồ thị hàm số
Các dạng đồ thị hàm số: Chủ yếu là đồ thị hàm số mũ
1. Đồ thị hàm số bậc nhất
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Lập bảng xét dấu y’
+ Hàm số đồng biến [nghịch biến] trên các khoảng và
- Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
- Tiệm cận:
Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
- Đồ thị hàm số y= ax+b
- Giao của đồ thị với trục Oy: x = 0 => y = [0; ]
- Giao của đồ thị với trục Ox: Giải phương trình y = 0
- Lấy thêm một số điểm [nếu cần]- [điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.]
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2
Vẽ đồ thị hàm bậc 2: Đồ thị hàm số y=ax2.
Vẽ đồ thị hàm số bậc 2 là hàm số có dạng y = ax2 + bx+c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị của hàm số là một Parabol [P] có các dạng:
- Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.
- Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số ta thực hiện như sau:
- Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
- Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.
3. Đồ thị hàm số logarit
Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1.
Đồ thị qua điểm [1 ; 0], nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
4. Hàm số mũ
y = ax [a>0 và a≠1]
Tập xác định D=R, y = ax >0,∀x∈R.
Hàm số đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
Đồ thị qua điểm [0 ; 1], nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Đạo hàm :
- y = ax có y′ = ax lna
- y = ex có y′ = ex
- Với u[x] là hàm số theo X có đạo hàm là u’[x] thì: y = au có y′ = au.u′.lna và y = eu có y′=eu . u′.
5. Đồ thị hàm số bậc 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d [a≠0]
6. Đồ thị hàm số bậc 4
Phần này ta sẽ tìm hiểu cách vẽ đồ thị hàm số bậc 4 dưới dạng hàm số trùng phương như sau:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c
Để vẽ được đồ thị dạng này ta đặt x2 = t. Phương trình cũ trở thành phương trình bậc hai có dạng: at2 + bt + c = 0. áp dụng tương tự cách vẽ đồ thị hàm bậc hai như trên.
7. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f[x] nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ:
- Bước 2: Nhận xét rằng hàm số [1] là hàm số lẻ.
- Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng.