Tìm nghiệm của phương trình lớp 9

A. Kiến thức cần nhớ

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f[x, y, z, ...] = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên [x, y, z, ...] thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

- Phương pháp dùng tính chất chia hết

-Phương pháp xét số dư từng vế

-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

-Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

-Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x 17y 159 1 + = [1]

Hướng dẫn giải

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x +13y = 156 [1].

Hướng dẫn giải

Chú ý: Phương trình có dạng ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử.

- Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để một phân số trở thành số nguyên

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: 23x + 53y = 109

Hướng dẫn giải

Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 11x + 18y = 120 [1]

Hướng dẫn giải

Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74

Hướng dẫn giải

Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số

* Cơ sở phương pháp:

Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: A[x;y].B[x;y] = c trong đó A[x;y], B[x;y] là các biểu thức nguyên, c là một số nguyên.

Xét các trường hợp A[x;y], B[x;y] theo ước của c.

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2xy - x + y = 3

Hướng dẫn giải

2xy - x + y = 3

4xy - 2x + 2y = 6

2x[2y - 1] + [2y - 1] = 6 - 1

[2y -1] + [2x + 1] = 5

Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là một tích các thừa số nguyên, vế trái là hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên 2x + 1 và 2y – 1 là các số nguyên và là ước của 5.
[2x + 1] và [2y - 1] là các ước số của 5 nên ta có:

Vập phương trình có các nguyện nguyên là [x, y] = [3, 0]; [-1, -2]; [2, 1]; [-3, 0].

Xem tiếp file đầy đủ tại đây

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là một trong những chuyên đề quan trọng của toán lớp 9. Đây là chuyên đề không quá phức tạp nhưng lại có nhiều dạng bài tập. Nếu không hiểu rõ lý thuyết, bạn sẽ không thể làm đúng các dạng bài tập. Vậy bạn đã biết công thức giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập liên quan chưa? Hãy cùng Toppy tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây. 

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, chúng ta cần hiểu phương trình bậc 2 là gì, có dạng thế nào. Phương trình bậc hai hay còn được gọi là phương trình bậc hai 1 ẩn. Đây là phương trình gồm 1 ẩn số, được tổng quát dưới dạng: 

ax2 + bx +c = 0 [a ≠0]

Trong đó: a, b, c là các số thực được cho trước, x là ẩn số phải đi tìm và a phải là một số khác 0. Bởi nếu a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về phương trình bậc 1 có một ẩn số. 

Với dạng phương trình này sẽ có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung, các dạng bài tập đều quy về việc tìm nghiệm của phương trình cho trước. Tập nghiệm có thể gồm 1 hoặc nhiều nghiệm, miễn sao thỏa mãn phương trình. 

Phương trình bậc 2 là một dạng bài tập quan trọng trong toán 9

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 

Sau khi đã tìm hiểu về phương trình bậc 2, chắc hẳn bạn đang thắc mắc công thức nghiệm của phương trình bậc 2 thế nào. Công thức giải phương trình bậc 2 dạng  ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] có Δ = b2 – 4ac sẽ có 3 trường hợp: 

• Δ = 0: khi đó phương trình sẽ có nghiệm kép hay còn gọi là 2 nghiệm.
• Δ > 0 thì có 2 nghiệm khác nhau là x1 và x2, được tính theo công thức [−b+/-√ Δ]/2a.
• Trường hợp Δ < 0 thì phương trình bậc 2 kể trên vô nghiệm, tức là phương trình không có số nào thỏa mãn để 2 vế bằng nhau. 

Trong trường hợp 2 số thực a,c trái dấu thì phương trình sẽ luôn có 2 nghiệm phân biệt nhau, tức là Δ > 0. 

Dạng của phương trình bậc 2

Định lý Viet trong phương trình bậc 2

Nhắc tới phương trình bậc 2 và công thức giải phương trình bậc 2, chúng ta không thể không nhắc tới định lý Viet. Đây là một định lý quan trọng, liên quan tới nhiều dạng bài tập của phương trình bậc 2. 

Như đã giới thiệu ở trên, phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] sẽ có tối đa 2 nghiệm, gọi là x1 và x2. Khi đó, x1 và x2 sẽ thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện, đó là: 

• x1 + x2 = -b/a
• x1x2 = c/a

Khi làm bài tập về phương trình bậc 2, bạn có thể áp dụng định lý viet bằng cách biến đổi biểu thức để xuất hiện x1 + x2 và x1x2. 

Bạn cũng có thể áp dụng định lý Viet đảo với 2 số x1 và x2 thỏa mãn 2 điều kiện:

Trong đó: cả x1 và x2 đều là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0. 

Nhắc tới định lý Viet, chúng ta không thể bỏ qua ứng dụng của định lý này. Với phương trình bậc 2, bạn có thể dễ dàng tính được nghiệm của phương trình mà không cần áp dụng công thức tính nghiệm với một số trường hợp đặc biệt: 

• Trường hợp 1: a+b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a. 
• Trường hợp 2: a-b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a. [Đây là trường hợp ngược lại của trường hợp 1, bạn cần nhìn kỹ dấu để tránh nhầm lẫn].

Phương trình bậc 2 có các dạng bài tập quan trọng

Dạng bài tập ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Sau khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, bạn cần lưu ý tới các dạng bài tập. Mỗi dạng bài tập sẽ có một phương pháp giải khác nhau. Áp dụng đúng phương pháp sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và giải bài tập chính xác hơn. 

Cụ thể, hiện nay phương trình bậc 2 có các dạng bài tập chủ yếu như: 

Dạng 1: phương trình bậc 2 một ẩn không có tham số

Để giải dạng bài tập này, bạn cần áp dụng công thức Δ và Δ’ rồi áp dụng các công thức tính phương trình bậc 2 đã được giới thiệu ở trên. Qua đó tìm được nghiệm của phương trình.

Ví dụ: ta có phương trình: x2-3x+2=0. Áp dụng công thức tính Δ, ta sẽ có Δ = 1. Vậy 2 nghiệm của phương trình sẽ lần lượt là: 

Dạng 2: phương trình bậc 2 một ẩn có tham số

Bên cạnh dạng không chứa tham số, phương trình bậc 2 một ẩn có tham số cũng là một dạng bài tập quan trọng. Để giải dạng bài tập này, bạn cũng cần sử dụng công thức tính Δ. Từ đó, dựa vào 3 trường hợp của Δ đã được giải thích ở trên, bạn có thể xác định được phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt hay vô nghiệm. Từ đó áp dụng công thức để tính được các giá trị nghiệm cụ thể. 

Trên đây là công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và cách giải một số dạng bài tập của phương trình bậc 2. Hãy ghi nhớ các công thức, dạng bài tập để có thể áp dụng khi gặp dạng bài tập này nhé.  

Xem thêm: