Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2-xy+y^2-4=0
|
A. \((x;y) = \left\{ {\left( {3;11} \right);\,\,\left( {1;\, - 1} \right);\,\,\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;4} \right)} \right\}.\) B. \((x;y) = \left\{ {\left( { - 3; - 11} \right);\,\,\left( {1;\,1} \right);\,\,\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2; - 4} \right)} \right\}.\) C. \((x;y) = \left\{ {\left( { - 3; - 11} \right);\,\,\left( {1;\, - 1} \right);\,\,\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2; - 4} \right)} \right\}.\) D. \((x;y) = \left\{ {\left( { - 3;11} \right);\,\,\left( {1;\,1} \right);\,\,\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;4} \right)} \right\}.\) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+x+6=y^2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2+x+6=y2
Ngày dạy:Chuyên đề:PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNThời lượng: 4 buổi1. Phương pháp phân tích thành tích:Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa các biến, vế phải là một sốBài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn:a) xy + x + y = 2 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 3 = 1.3 = (−1).(−3)Kết quả: (0;2), (2;0), (-4;-2), (-2;-4)b) x - y + xy =3 ⇔ ( y + 1)( x − 1) = 2 = 1.2 = −1.(−2)Kết quả: (3;0), (2;1), (-1;-2), (0;-3)c) 2xy - 3y - x - 1 = 01 5⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 52 2Kết quả:d)(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)1 111+ +=x y 6 xy 6Hướng dẫn giảiĐặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)Bài 2. Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn :a) 2 xy + x + y = 21(Năm học 2011-2012 )Giải : Nhân hai vế với 2, ta được:⇔ 4xy + 2x + 2y +1 = 43 ⇔ (2x + 1).(2y + 1)= 1.43 = -1.(-43)Kết quả:(0;21), (21;0), (-1;-22), (-22;-1)Cách khác : Ta có thể biến đổi một cách tự nhiên hơn, như sau:1 12 xy + x + y = 21 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1). − = 212 2⇔ 2 x (2 y + 1) + (2 y + 1) = 43 ⇔ (2 x + 1)(2 y + 1) = 43b) 2xy - 3y - x - 1 = 0Giải:1 5⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 52 2Kết quả:(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)c) xy +x - 2y = 31Bài 3.* Chú ý quan trọng:Trong phương trình nghiệm nguyên, khi có 1 biến nào đó có số mũ không đổi ta đặt biếnđó làm nhân tử chung rồi xử lí phần còn lại.a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )Giải bằng : PP phân tích thành tíchx 2 − xy − 5 y − 24 = 0 ⇔ − y ( x + 5) + x 2 − 25 − 1 = 0⇔ − y ( x + 5) + ( x + 5)( x − 5) = 1 ⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = 1b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x 2 − xy + 3 y − 16 = 0x 2 − xy + 3 y − 16 = 0 ⇔ ( x − 3)( x − y + 3) = 7c) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:x 2 + xy + x + 2 y = 4x 2 + xy + x + 2 y = 4 ⇔ ( x + 2)( x + y − 1) = 2Bài 4.a) Tìm các cặp số nguyên ( x ; y) thoả mãn phương trình: .2x2-2xy = 5x+y-19(Năm học 2006-2007)2x2 - 2xy = 5x+y-19 ⇔ 2x2 - 2xy - 5x - y+19 = 0⇔ -y(2x+1) + 2x - 5x + 19 = 0⇔ -y(2x+1) + (2x+x) - 6x - 3 + 22 = 0⇔ -y(2x+1) + x(2x+1) - 3(2x + 1) = 0- 22⇔ (2x+1)(x-y-3) = -22* Chú ý: vận dụng tính chất lẻ của 2x+1 để loại bớt trường hợp.Kết quả: (0;19), (-1;-26)b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= 0⇔ (2x - y).(x + 2) = 2Kết quả: (0;-1), (-1;-4), (-3;-3), (-2;-2)c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x - x - xy + y + x = 6⇔ (x - y +1).(x - 1) = 6Kết quả: (2;0), (6;36), (0;6), (-4;18)2Bài 5. (Bài khó)a)Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x2y+2xy - 81x +y = 0(Năm học 2009-2010)Giải:⇔ y ( x +1) 2 − 81x = 0⇔ y ( x +1) 2 − 81( x +1) = −81⇔ ( x +1)( xy + y − 81) = −81 = −81.1 = −1.81 = −3.27 = −27.3 = −9.9Do x+1>0 nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp sau:- Với- Với- Với- Với x = 80 x + 1 = 81⇔80 (Loại) xy + y − 81 = −1 y =81 x = 26 x + 1 = 27⇔78 (Loại) xy + y − 81 = −3 y =27x +1 = 3x = 2⇔(Thỏa mãn) xy + y − 81 = −27 y = 18x +1 = 9x = 8⇔(Thỏa mãn) xy + y − 81 = −9y = 8Vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm: (2;18), (8;8)− x 2 y + x + 2 y − xy = 15⇔ − y ( x 2 + x − 2) + x = 15 ⇔ − y ( x − 1)( x + 2) + x + 2 = 17⇔ ( x + 2)(1 + y − xy ) = 17 = 1.17 = −1.(−17)b) Tìm cặp số tự nhiên x,y trong phương trình:Vì x+2> 0 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:x + 2 = 1 x = −1⇔(Loại)1 + y − xy = 17y = 8 x + 2 = 17 x = 15⇔Với (Thỏa mãn)1 + y − xy = 1 y = 0- Với -Bài 6. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )Giải bằng : PP phân tích thành tích⇔ ( x 2 − 25) − ( xy + 5 y ) = −1 ⇔ ( x + 5)( x − 5) − y ( x + 5) = −1⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = −1 = −1.1 = 1.(−1)3Bài 7. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 ⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1 ⇔ (x-2y)(x+2y) - 5y(x-2y)=-1(x-2y)(x-3y)=-1Bài tập tự luyện:Bài 1: nghiẹm nguyên của phương trình.x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0( x + y ) 2 + y ( x + y ) − ( x + y ) = −3 ⇔ ( x + y )( x + y + y − 1) = −3Bài 3 nghiệm nguyên của phương trình:x3 - y3 = xy + 8 (1)Bài 4 Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 211( x + y ) 2 − ( x 2 y 2 + xy ) = 0 ⇔ ( x + y ) 2 − ( xy + ) 2 + = 024Nhân 2 vế với 4( phải đưa về pt nguyên) ta được:4( x + y ) 2 − (2 xy + 1) 2 = − 1 ⇔ (2 x + 2 y − 2 xy − 1)(2 x + 2 y + 2 xy + 1) = − 1 = − 1.1Kết quả: (0;0) là nghiệm duy nhất.Bài 5 (khó, tham khảo)Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:(x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49)Biến đổi tương đương PT đã cho: (*) ⇔ [x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]⇔ x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 ⇔[4x2 – (y2 + 7)]2 = 0 ⇔ 4x2 – y2 – 7 = 0 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 (1)Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được 2x + y = 7⇔ 2x − y = 1x = 2. Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3).y = 3Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:[1x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ (12 + 42)[x4 + (y2 + 7)2] hay [x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ 17[x4 + (y2 + 7)2], dấu bằngxảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y2 + 7 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7. Làm tiếp như trên.42. Phương pháp đưa về tổng các lũy thừa:Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x(Năm học 2005-2006 )Giải: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x22 y ≥ 2 y ≥ 2(1)⇔ y 2 − 2 = 4 − x2 − 2x ⇔ 2⇔ 2222222( y − 2) = 4 − x − 2 x( y − 2) + ( x + 1) = 5 = 1 + 2 (*) y2 ≥ 2 y2 ≥ 2⇔ y 2 − 2 = 1 Hoặc y 2 − 2 = 2 x + 1 = 2 x + 1 = 1Vậy, có các khả năng như sau:- Với y 2 − 2 = 1 y = ± 3⇔(Loại)x +1 = 2 x = 1- Với y = ± 3 y2 − 2 = 1⇔(Loại) x + 1 = −2 x = −3- Với y2 − 2 = 2 y = ±2⇔(Thỏa mãn)x = 0x +1 = 1- Với y 2 − 2 = −2y = 0⇔(Loại, vì không t/m 1) x = −2 x + 1 = −1Vậy, Phương trình chỉ có hai nghiệm là (0;-2); (0;2)Bài 2. Tìm hai số tự nhiên x; y biết :x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y = 12Giải:( x + y ) 2 + ( y + 1) 2 = 13 = 22 + 32Từ đó ta xét 2 trường hợp sau:x + y = 2x = 0⇔ y +1 = 3y = 2- Trường hợp 1: x + y = 3 x = 2⇔ y +1 = 2y =1- Trường hợp 2: Vậy, có hai cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn đk bài toán là: (0;2) , (2;1)Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:51 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y1 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y ⇔ y − 1 = −4 x 2 + 4 x + 16 ⇔y ≥1y ≥1y ≥1⇔⇔22222222( y − 1) = −4 x + 4 x + 16( y − 1) + (2 x − 1) = 17( y − 1) + (2 x − 1) = 1 + 4y ≥1y ≥1⇔ y − 1 = 1 (1) hoặc ⇔ y − 1 = 4 (2) 2x −1 = 4 2x −1 = 1Giải (1) ta xét các trường hợp sau:y = 2 y −1 = 1⇔- Với 5 (Loại)2 x − 1 = 4 x = 2y = 0 y − 1 = −1 ⇔- Với 5 (loại)2 x − 1 = 4 x = 2y = 2 y −1 = 1⇔- Với 3 (Loại) 2 x − 1 = −4 x = − 2y = 0 y − 1 = −1⇔- Với 3 (Loại) 2 x − 1 = −4 x = − 2Giải (2) ta xét các trường hợp sau: y −1 = 4y = 5⇔(Thỏa mãn)2 x − 1 = 1 x = 1- Với y −1 = 4y = 5⇔(Thỏa mãn) 2 x − 1 = −1 x = 0- Với - Với - Với y − 1 = −4 y = −3⇔(Loại-vì y≥ 1)2 x − 1 = 1x = 1 y − 1 = −4 y = −3⇔(Loại-vì y≥ 2 x − 1 = −1 x = 01)Vậy, nghiệm của phương trình là: (1;5) và (0;5)Bài 4. Giải phương trình: x 2 +y 2 +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên.Giải:x 2 +y 2 +6 y +5 =0 Û x 2 +( y +3) 2 =4 =02 +22x = 0 x = ±2⇔hoặc y + 3 = ±2y +3 = 0Giải ra ta được các cặp số thỏa mãn phương trình là:(0; -1), (0; -5), (2; -3), (-2; -3).3. Phương pháp đánh giá chẵn lẻ:Đánh giá tính chẵn lẻ của hai vế, từ đó tìm nghiệm của phương trìnhBài 1. Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 1096(Năm học 2010-2011)Giải bằng : PP chẵn –lẻ : y(y+3) chẵn ⇒ 100x lẻ ⇒ x = 0 …⇒ y2 + 3y - 108 =0⇔ 4 y 2 + 12 y − 432 = 0 ⇔ (2 y + 3) 2 − 441 = 0⇔ (2 y + 3 + 21).(2 y + 3 − 21) = 0 ⇔ y = −12hoặc y= 6Vậy, phương trình có hai nghiệm là (0;-12) và (0;6)Bài 2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : 2 x + y 2 + y = 2 x + 1(Năm học 2012-2013)Giải bằng : PP chẵn –lẻ ⇔ 2 x + y ( y + 1) = 2 x + 1VP là số lẻ => VT là số lẻ , mà y(y+1) là số chẵn => 2 x là số lẻ => x = 0Bài 3.Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phảiđấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia . Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng sốđấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ.Hãy tìm số đấu thủ của mỗiđội. (Năm học 2002-2003)Giải bằng : PP chẵn –lẻ hoặc PP phân tích thành tíchBài 4.Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111.(Năm học 2005-2006 )Giải bằng : PP chẵn -lẻ4. Phương pháp xét số dư:Bài 1: Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãnCách 1: Vìlà số chính phương nênVà⇒+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 (nếu y = 0)+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2Mà 257 chia cho 3 dư 2 buộcchia cho 3 dư 2 ⇔+chia cho 3 dư 1⇒.= 1 ⇒ y =0; x= 167chia cho 3 dư 1 vàCách 2:Vì 3 = 729 ⇒ y < 6. Lần lượt xét 6 trương hợp của y để tìm x.Cách 3: Cách giải sai(cần lưu ý với hs)Vìlà số chính phương nênMặt khác:chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 nên+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; yđể+.Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x - 2y = 5 (1)Để giải bài tập này ta dựa vào nhận xét sau:Một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể hoăc dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.Giải: Ta cho y các khẳ năng sau:+ y+ 5 ⇒ 2 y + 25 , từ (1) ⇒ x + 25 ⇒ x - 2y + 25 ⇒ 5 + 25 Vô lí.+ y chia 5 dư 1 hoặc 4 ⇒ y chia cho 5 dư 1 2 y chia cho 5 dư 2từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 2 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)+ y chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ⇒ y chia cho 5 dư 4⇒2 y chia cho 5 dư 3từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 3 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)Vậy, không có cặp giá trị x; y nguyên nào để x - 2y = 5Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3(x2-y2 + y) = 28 –y3Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y ⇔ (y-1) + 3x = 27 mà 27+ 3 và 3x + 3⇒ (y-1) + 3 ⇒ (y-1) + 27 (vì y∈ Z) lại có (y-1) ≤ 27Do đó (y-1)= 0 hoặc (y-1) = 27 ⇒ y= 1 hoặc y = 4Với y= 1 ⇒ x= 3 (vì x>0)Với y= 4 ⇒ x= 0 loạiVậy, y= 1; x= 3 là cặp số cần tìm.4. Phương pháp ước lượng giá trị mỗi vế của phương trình:Ví dụ:Giải phương trình nghiêm nguyên: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Giải:2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2( x 2 + 2 x) = 19 − 3 y 2⇔ 2( x + 1) 2 = 21 − 3 y 28Vì 2( x + 1) 2 ≥ 0 ⇒ 21 − 3 y 2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 7 ⇒ y ≤ 7- Nếu y = 0 ⇒ 2( x + 1) 2 = 21 vô nghiệm ( vế phải chẵn - vế trái lẻ)2- Nếu y = 1 ⇒ 2( x + 1) = 18 ⇔ x + 1 = ±3 ⇔ x = 2 hoặc x =-4Ta được các căp số thỏa mãn: (2;-1), (2;1), (-4;-1), (-4;1)2- Nếu y = 2 ⇒ 2( x + 1) = 9 vô nghiệm- Nếu y ≥ 3 loại. Vì y ≤ 7Vậy,......Các bài tập tương tự:Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:a) x - 4x + y = 0b) x + y + y - 1 =0⇔ (2y+1) = 5 - 4xc) x +2y - 2xy = 4⇔ (x-y) = 4 - yd) 5x + 4xy + y - 2x = 4 ⇔ (2x+y) = 5 - (x-1)5. Phương pháp đặt ẩn phụVí dụ. (HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018)Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − 2018) 2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yLời giải: ( x − 2018)2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yTa có:y 4 − 6 y 3 + 11 y 2 − 6 y = ( y 4 − 2. y 2 .3 y + 9 y 2 ) + (2 y 2 − 6 y )= ( y 2 − 3 y ) 2 + 2( y 2 − 3 y )Đặt a = y 2 − 3 y;(a ∈ Z )Phương trình đã cho có dạng:( x − 2018) 2 = a 2 + 2a ⇔ ( x − 2018) 2 − (a + 1) 2 = −1 ⇔ ( x − a − 2019)( x + a − 2017) = −1Vì x, a là số nguyên nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp: x − a − 2019 = 1 x = 2018⇔ x + a − 2017 = −1 a = −2+Với a=-2 ⇔ y 2 − 3 y = −2 ⇔ y 2 − 3 y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y=2.Ta được các cặp số: (2018;1), (2018;2). x − a − 2019 = −1 x = 2018⇔ x + a − 2017 = 1a = 0+9Với a=0 ⇔ y 2 − 3 y = 0 ⇔ y = 0 hoặc y=3.Ta được các cặp số: (2018;0), (2018;3).Baì tập 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2Hướng dẫn giải22Phương trình (1) (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*)Ta có: a2 – 1 = y2 Giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước sốThi HSG Tỉnh Nghệ anNăm học 2009 – 2010Câu 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x 2 + xy + y 2 ) = 7(x + 2y)Đặt x+2y=5t (t∈ Z). Đưa về pt bậc 2 - buộc phương trình có nghiệm:Thay vào phương trình ta được: x 2 + xy + y 2 = 7t thay x = 5t-x vào ta co:25t 2 − 15ty + 3 y 2 = 7t ⇔ 3 y 2 − 15ty + 25t 2 − 7t = 0V= −75t 2 + 84t = t (−75t + 84)Phương trình đã cho có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤84suy ra t=0 hoặc t = 1.75Từ đó tìm được x=y=0 hoặc x=-1;y=3 hoặc x=1; y=2Bài tập. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm xCách 2: (2x+2) = 42- 6y ≥ 0 ⇒ y=….Câu 2(4,5đ)a) Tìm các số nguyên dương x, y khác nhau sao cho: x y = y x .Giải:Giả sử 1 ≤ x < y . Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: x y − x =yxxxVì y x Mx x mà x là số nguyên dương nên y Mx . Đặt y = kx (k∈ N , k ≥ 2 )Theo bài ra ta có x kx = (kx) x ⇔ ( x k ) x = (kx) x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k (1)Ta thấy x ≥ 2 (vì nếu x = 1 thì k = 1 ). Do đó x k −1 ≥ 2k −1(2)Từ (1) và (2) suy ra k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k(3)Dễ thấy k ≥ 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra. Do đó k = 2.Thay k = 2 vào (1) ta được x = 2 ⇒ y = 2.2 = 4 .10Thử lại x = 2; y = 4 thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy ( x, y )∈ { ( 2; 4 ) , ( 4; 2 ) }.Câu 3. (4.0 điểm):Bài tập sưu tầm:1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:xy yz zx+ +=3zxy11 |
