1. Phương trình tương đương
Hai phương trình [1] và [2] được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, ta viết \[[1] \Leftrightarrow [2].\] Ví dụ hai phương trình sau là tương đương
\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}=x\quad \text{và}\quad 3x+2=6x\]
2. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
- Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương
3. Phương trình hệ quả
Gọi \[S_1, S_2\] lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình [1] và [2]. Ta nói phương trình [2] là phương trình hệ quả của phương trình [1] khi \[S_1 \subset S_2.\] Ta viết \[[1] \Rightarrow [2].\]
Ví dụ 1. Cho hai phương trình:
\[x+1=2x-1 \quad [1]\] \[\left[x+1\right]^2=\left[2x-1\right]^2\quad [2]\]
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 2. Cho hai phương trình:
\[\sqrt{x+2}=x-4 \quad [1]\] \[x+2=[x-4]^2 \quad [2]\]
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.
Công thức
\[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B^2\end{cases}\]
BÀI TẬP
Bài 1. Cho phương trình \[[x+1]^2=0 \quad [1] \text{ và } ax^2-2[2a+1]x+a=0 \quad [2]\] Tìm giá trị của $a$ sao cho phương trình [1] tương đương với phương trình [2].
Bài 2. Cho hai phương trình \[x-3=2\] và \[[x-3]^2=4\]. Phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình nào, vì sao?
Bài 3. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x+9}=x-3$ và $x+9=[x-3]^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?
Bài 4. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x^4+4}=x^2+2$ và $x^4+4=[x^2+2]^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
- Phương trình tương đương: Hai phương trình f1[x] = g1[x] và f2[x] = g2[x] được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇔ f2[x] = g2[x]
- Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
- Phương trình hệ quả: f2[x] = g2[x] gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1[x] = g1[x] nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1[x] = g1[x]
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇒ f2[x] = g2[x]
- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+ Cộng [trừ] cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân [chia] vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình [hai vế luôn cùng dấu] ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Bài 1: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}
Quảng cáo
Bài 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện [*]
Nếu x ≠ 3. thì [*]
Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3
Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}
Bài 3: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≥ -1.
Ta có x = -1 là một nghiệm.
Nếu x > -1 thì √[x+1] > 0. Do đó phương trình tương đương
x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}
b. ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với phương trình
x2 = 1 - [x - 2]⇔ x2 + x - 3 = 0
Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm
Quảng cáo
Bài 4: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≠ 1.
Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b. ĐKXĐ :
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3
Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
x2 + mx - 1 = 0 [1] và [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0 [2]
Hướng dẫn:
Giả sử hai phương trình [1] và [2] tương đương
Ta có [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0
⇔
Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình [1]
Thay x = -1 vào phương trình [1] ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp