Trọng điểm trong toán học là gì

Trọng tâm tam giác là gì? Cách xác định trọng tâm như thế nào? Mời các bạn hãy cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Trong các bài tập Hình học lớp 7 các bạn thường được sử dụng nhiều đến trọng tâm của hình tam giác. Tuy nhiên không phải bạn học nào cũng nắm bắt rõ được khái niệm, ý nghĩa và cách xác định điểm trọng tâm của hình tam giác. Chính vì vậy sau đây Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về Trọng tâm tam giác.

1. Định nghĩa Trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó

Ví dụ:

Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP cùng đi qua G.

Điểm G gọi là trọng tâm tam giác ABC.

2. Tính chất trọng tâm tam giác

Tính chất của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Giả sử, tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, ta có:

• GA = 2/3 AM
• GB = 2/3 AN
• GC = 2/3 CP

Ngoài ra, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Xét theo khía cạnh, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.

- Đối với đường trung tuyến AM, ta có:

AM = 3 GM; AM =

- Đối với đường trung tuyến BN, ta có:

BN = 3 GN; BN = BG; BG = 2 GN; GN = BG,

- Đối với đường trung tuyến CP, ta có:

CP = 3 GP; CP = CG; CG = 2 GP; GP = CG,

3. Cách xác định trọng tâm tam giác

Để xác định trọng tâm của một tam giác ta thực hiện:

Cách 1:

• Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
• Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
• Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
• Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.

Cách 2:

• Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
• Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
• Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G sao cho:
• Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến tại đỉnh A, B, C. Ta có giao của ba đường trung tuyến là điểm G. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có tính chất:

4. Trọng tâm của các hình học đặc biệt

A.Trọng tâm tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, vì BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.

Vậy tam giác ADB và tam giaisc ABC lần lượt cân tại A,

B. Trọng tâm tam giác cân

Cho tam giác ABc cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác của tam giác ABC.

Hệ quả:

- AG vuông góc với BC.

C. Trọng tâm tam giác đều

Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trựa tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

D. Trọng tâm tứ diện

Ta có G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.

4. Bài tập trọng tâm của tam giác

Bài tập: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A

Lời giải:

Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:

Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM

Xét BNG và

BG = CN

GN = GM

Suy ra : BNG đồng dạng CMG

Suy ra: BN = CM [1]

mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC [2]

Từ [1] và [2] ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A[ đpcm].