Hình Học Tọa Độ OxyzPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAOA - LÝ THUYẾT CHUNG1. Định nghĩa mặt cầuTập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầutâm O và bán kính R. Kí hiệu S [ O; R ] .Trong không gian với hệ trục Oxyz :- Mặt cầu [ S ] tâm I [ a, b, c ] bán kính R có phương trình là: [ x − a ] + [ y − b ] + [ z − c ] = R 2 .222- Phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 là phương trình mặt cầutâm I [ a; b; c ] , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .2. Vị trí tương đối của mặt phẳng [ P ] và mặt cầu [ S ] d [ I , [ P ] ] > R khi và chỉ khi [ P ] không cắt mặt cầu [ S ] . d [ I , [ P ] ] = R khi và chỉ khi[ P]Itiếp xúc mặt cầu [ S ] .R d [ I , [ P ] ] < R khi và chỉ khi [ P ] cắt mặt cầu [ S ] theoHgiao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng [ P ] có tâmPH và có bán kính r = R 2 − d 2 .3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳnga] Cho mặt cầu S [ O; R ] và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của O lên ∆ và d = OH là khoảngcách từ O đến ∆AHOOOHBH Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt [H.3.1] Nếu d = R thì ∆ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất [H.3.2] Nếu d > R thì ∆ khơng cắt mặt cầu [H.3.3]119 Hình Học Tọa Độ OxyzB - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUDạng 1.Biết trước tâm I [ a; b; c ] và bán kính R : Phương trìnhS [ I ; R ] : [ x − a ] + [ y − b] + [ z − c ] = R22Dạng 2.2Tâm I và đi qua điểm A :•Bán kính R = IA•Phương trình S [ I ; R ] : [ x − a ] + [ y − b ] + [ z − c ] = R 2 .2Dạng 3.22Mặt cầu đường kính ABx A + xB; yI =y A + yB; zI =•Tâm I là trung điểm AB : x I =•Bán kính R = IA =•Phương trình S [ I ; R ] : [ x − a ] + [ y − b ] + [ z − c ] = R 2 .22222Mặt cầu tâm I [ a; b; c ] tiếp xúc mặt phẳng [α ] :Aa + Bb + Cc + D•Bán kính R = d [ I ; α ] =•Phương trình S [ I ; R ] : [ x − a ] + [ y − b ] + [ z − c ] = R 2 .A2 + B 2 + C 22Dạng 5.z A + zBAB22Dạng 4.22Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD [đi qua 4 điểm A, B, C , D ]•Giả sử mặt cầu [ S ] có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 [ 2 ]•Thế tọa độ của điểm A, B, C , D vào phương trình [2] ta được 4 phương trình•Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d•Viết phương trình mặt cầu.Dạng 6.Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I ∈ [α ] : Ax + By + Cz + D = 0 :•Giả sử mặt cầu [ S ] có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 [ 2 ]•Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình [2] ta được 3 phương trình•I [ a; b; c ] ∈ [α ] ⇒ Aa + Bb + Cc + D = 0•Giải hệ 4 phương trình tìm a, b, c, d•Viết phương trình mặt cầu.Dạng 7.Mặt cầu [ S ] đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng dCách 1:1202 Hình Học Tọa Độ Oxyz•Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d [tham số t ]•Ta có A, B ∈ [ S ] ⇔ IA = IB = R ⇔ IA2 = IB 2 . Giải pt tìm ra t ⇒ tọa độ I , tính được R .Cách 2:•Viết phương trình mặt phẳng trung trực [ P ] của đoạn thẳng AB .•Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d [giải hệ tìm tọa độ tâm I]•Bán kính R = IA . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.[Chú ý: Nếu d ⊂ [ P ] hoặc d / / [ P ] thì khơng sử dụng được cách 2 này]Dạng 8.Mặt cầu [ S ] có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu [ T ] cho trước:•Xác định tâm J và bán kính R ' của mặt cầu [ T ]•Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu [ S ] .[Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài]Dạng 9.Mặt cầu [ S ' ] đối xứng Mặt cầu [ S ] qua mặt phẳng [ P ]•Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp [ P ]•Viết phương trình mặt cầu [S’] tâm I ’ có bán kính R’ = R .Dạng 10. Mặt cầu [ S '] đối xứng mặt cầu [ S ] qua đường thẳng d•Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp d [xem cách làm ở phần đường thẳng]•Viết phương trình mặt cầu [S’] tâm I ’ có bán kính R’ = R .C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM121 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 1:Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A [ 0;2;0 ] , B [ −1;1;4 ] và C [ 3; −2;1]. Mặt cầu [ S ] tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 [biết tâm I có hồnh độ ngun, O làgốc tọa độ]. Bán kính mặt cầu [ S ] làB. R = 3A. R = 1Câu 2:C. R = 4D. R = 5Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A [1;0;0 ] , B [ 2; −1; 2 ] , C [ −1;1; −3] . Viết phươngtrình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , đi qua A và cắt mặt phẳng [ ABC ] theo một đườngtròn có bán kính nhỏ nhất.215B. x 2 + y + + z 2 = .242235D. x 2 + y − + z 2 =2415A. x 2 + y − + z 2 = .24219C. x 2 + y − + z 2 = .24Câu 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I [1; 2;3] và tiếpxúc với đường thẳngA. [ x − 1] + [ y − 2 ] + [ z − 3] 2 =233.9B. [ x − 1] + [ y − 2 ] + [ z − 3] 2 =243.9C. [ x − 1] + [ y − 2 ] + [ z − 3]2 =2223.9D. [ x − 1] + [ y − 2 ] + [ z − 3] 2 =333922Câu 4:x y+2 z== .1−22222222Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trìnhx2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 12 = 0 và đường thẳng d : x = 5 + 2t ; y = 4; z = 7 + t. Viếtphương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu [ S ] tại điểm M [ 5; 0;1] biết đường thẳng ∆1tạo với đường thẳng d một góc ϕ thỏa mãn cosϕ =.7Câu 5: x = 5 + 3t x = 5 + 13tA. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 − 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tB. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 + 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tC. ∆ : y = 5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 − 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tD. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5tz = 1− t z = 1 − 21tx −1 y + 2 z== . Tìm tọa độ12−2điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu [ S ] tâm M tiếp xúc với trục Oz có bánkính bằng 2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :6 8 2A. M [ 2;0; −2 ] ∨ M ; − ; .5 5 51226 8 2B. M [ 2;0; 2 ] ∨ M ; ; .5 5 5 Hình Học Tọa Độ Oxyz7 8 4C. M [ 2;0; −2 ] ∨ M ; − ; .5 5 5Câu 6:6 8 2D. M [ 4;0; −2 ] ∨ M ; − ; 5 5 5Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình:x − 2 y −1 z −1x + 2 y − 3 z +1∆1 :==; ∆2 :==. Viết phương trình mặt cầu có bán kính14211−1nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 ?A. x 2 + [ y − 2 ] + z 2 = 6 .B. x 2 + [ y − 2 ] − z 2 = 6 .C. x 2 − [ y − 2 ] + z 2 = 6 .D. x 2 + [ y + 2 ] + z 2 = 6222Câu 7:2Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0.Viết phương trình mặt phẳng [ P ] chứa trục Ox và cắt mặt cầu [ S ] theo một đường trịn cóbán kính bằng 3.A. [ P ] : y − 2 z = 0 .Câu 8:B. [ P ] : x − 2 z = 0 .C. [ P ] : y + 2 z = 0 .D. [ P ] : x + 2 z = 0x −1 y −1 z==và cắt mặt21−1phẳng [ P ] : x + 2 y + z − 6 = 0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu [ S ] có tâm I thuộcTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng [ P ] tại điểm A, biết diện tích tam giác IAMbằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.A. [ S ] : [ x + 1] + y 2 + [ z − 1] = 6 .B. [ S ] : [ x + 1] + y 2 + [ z − 1] = 36 .C. [ S ] : [ x + 1] − y 2 − [ z − 1] = 6 .D. [ S ] : [ x + 1] + y 2 + [ z − 1] = 6222Câu 9:22222Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểmA [1; −1; 2 ] , B [ 2;1; −1]C [ −1; 2; −3] biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz.2212 4 1327B. [ S ] : x + − y 2 − z + =.11 11 1212212 4 1329D. [ S ] : x − − y 2 − z − =11 121 11 12 4 1326A. [ S ] : x + + y 2 + z − =.11 121 11 12 4 1328C. [ S ] : x − + y 2 + z − =.11 121 11 2222Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A [ −13; −1;0 ] , B [ 2;1; −2 ] , C [1; 2; 2 ] và mặt cầu[ S ] : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [ P ] đi qua qua A,song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu [ S ] . [ S ] có tâm I [1; 2;3] và có bán kính R = 9.A. [ P ] : −2 x + 2 y − z + 28 = 0 hoặc [ P ] : 8 x + 4 y + z − 100 = 0 .B. [ P ] : −2 x + 2 y + z + 28 = 0 hoặc [ P ] : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .C. [ P ] : −2 x + 2 y − z − 28 = 0 hoặc [ P ] : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .123 Hình Học Tọa Độ OxyzD. [ P ] : −2 x + 2 y − 2 z + 28 = 0 hoặc [ P ] : 8 x + 4 y + z − 1000 = 0[ S ] : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 2 z − 3 = 0, mặt phẳngCâu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu[ P ] : x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A [ −1;1;0 ] , B [ 2; 2;1] . Viết phương trình mặt phẳng [α ][ P ] và cắt mặt cầu [ S ] theo một đường trònsong song với AB, vng góc với mặt phẳng[ C ] có bán kính bằng3.A. [α ] : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp [α ] : x − y − 2 z − 11 = 0 .B. [α ] : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp [α ] : x − y − 2 z − 11 = 0 .C. [α ] : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp[α ] : x − 5 y − 2 z − 11 = 0 .D. [α ] : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp [α ] : x − 5 y − 2 z − 11 = 0Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A [ 2;0; 0 ] , B [ 0; 2;0 ] . Điểm C thuộc trục Ox saocho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu [ S ] có tâm O tiếp xúc với bacạnh của tam giác ABC.A. [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .B. [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 = −2 .C. [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .D. [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 = − 2x − 2 y −1 z −1==và mặt cầu−1−21222[ S ] : [ x + 1] + [ y − 2 ] + [ z − 1] = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểmCâu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :M [ −1; −1; −2 ] , cắt đường thẳng d và mặt cầu [ S ] tại hai điểm A, B sao cho AB = 8. x = −1 + 6tA. ∆ : y = −1 + 2t . z = −2 + 9t x = −1 − 6tB. ∆ : y = −1 − 2t . z = −2 + 9t x = −1 + 6tC. ∆ : y = 1 + 2t . z = 2 − 9t x = −2 + 6tD. ∆ : y = −3 + 2t z = −2 + 9tCâu 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu [ S ] tiếp xúc với mặt phẳng[ Q ] : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 tại124M [1; −1; −1] và tiếp xúc mặt phẳng [ P ] : x + 2 y − 2 z + 8 = 0[ c ] : [ x − 3]2 + y 2 + [ z − 1]2 = 9A. .[ c ] : [ x + 1] 2 + [ y + 2 ] 2 + [ z + 3]2 = 9[ c ] : [ x + 3]2 + y 2 + [ z + 1] 2 = 9B. .[ c ] : [ x + 1] 2 + [ y + 2 ] 2 + [ z + 3]2 = 9[ c ] : [ x − 3]2 + y 2 + [ z − 1]2 = 9C. .[ c ] : [ x − 1]2 + [ y − 2 ]2 + [ z − 3] 2 = 9[ c ] : [ x − 3] 2 + y 2 + [ z − 1]2 = 81D. [ c ] : [ x + 1]2 + [ y + 2 ]2 + [ z + 3] 2 = 81 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 15: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:x = tx − 2 y + 1 z −1∆1 :==, ∆ 2 : y = 2 − t và mặt cầu [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 012−3 z = 1 + 2tViết phương trình mặt phẳng [α ] song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu [S]theo giao tuyến là đường trịn [C] có chu vi bằng2 365π.5A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0B. x − 5 y − 3z + 10 = 0C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0D. x − 5 y − 3z − 4 = 0Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A [1, 0, −1] và mặt phẳng [ P ] : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu Scó tâm I nằm trên mặt phẳng [ P ] , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giácOIA bằng 6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là:A. [ x − 2 ] + [ y − 2 ] + [ z − 1] = 9 hoặc [ x + 2 ] + [ y − 2 ] + [ z − 1] = 9.222222B. [ x − 2 ] + [ y − 2 ] + [ z − 1] = 9 hoặc [ x + 1] + [ y + 2 ] + [ z − 2 ] = 9222222C. [ x − 2 ] + [ y + 2 ] + [ z − 1] = 9 hoặc [ x − 2 ] + [ y − 2 ] + [ z + 1] = 9222222D. [ x − 2 ] + [ y − 2 ] + [ z − 1] = 9 hoặc [ x + 1] + [ y − 2 ] + [ z + 2 ] = 9222222x −1 y − 6 z== . Phương trình mặt cầu có tâm I và2−13cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015là:Câu 17: Cho điểm I [1;7;5 ] và đường thẳng d :A. [ x − 1] + [ y − 7 ] + [ z − 5 ] = 2018.B. [ x − 1] + [ y − 7 ] + [ z − 5 ] = 2017.C. [ x − 1] + [ y − 7 ] + [ z − 5 ] = 2016.D. [ x − 1] + [ y − 7 ] + [ z − 5 ] = 2019.222222222222 x = −1 + tCâu 18: Cho điểm I [0;0;3] và đường thẳng d : y = 2t . Phương trình mặt cầu [S] có tâm I và cắtz = 2 + tđường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:12532A. x 2 + y 2 + [ z − 3] = .282B. x 2 + y 2 + [ z − 3] = .322C. x 2 + y 2 + [ z − 3] = .342D. x 2 + y 2 + [ z − 3] = .3 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 19: Cho điểm A [ 2;5;1] và mặt phẳng [ P ] : 6 x + 3 y − 2 z + 24 = 0 , H là hình chiếu vng góc củaA trên mặt phẳng [ P ] . Phương trình mặt cầu [ S ] có diện tích 784π và tiếp xúc với mặtphẳng [ P ] tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:A. [ x − 8 ] + [ y − 8 ] + [ z + 1] = 196.B. [ x + 8 ] + [ y + 8 ] + [ z − 1] = 196.C. [ x + 16 ] + [ y + 4 ] + [ z − 7 ] = 196.D. [ x − 16 ] + [ y − 4 ] + [ z + 7 ] = 196.222Câu 20: Cho mặt phẳng222[ P ] : x − 2 y − 2 z + 10 = 0222222và hai đường thẳng ∆1 :x − 2 y z −1,= =11−1x−2 y z +3. Mặt cầu [ S ] có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ 2 và mặt phẳng [ P ] ,= =114có phương trình:∆2 :22222211 7 5 81A. [ x − 1] 2 + [ y + 1] 2 + [ z − 2] 2 = 9 hoặc x − + y − + z + = .2 2 2411 7 5 81B. [ x + 1] 2 + [ y − 1] 2 + [ z + 2] 2 = 9 hoặc x + + y + + z − = .2 2 + y −x + x + 1 − 3x + x2 2 2 2 33≥ a −2 22 1 1 2x + + x + a 1 − 3 x + x 2 = a [ 1 − x + x 2 + 1 − 3 x + x 2 ] . 2 2 222 3 1 2 1 3= a x − + − x + ≥ a + 2 2 2 2 16622 3 1 13− + + = a 2 .2222 Hình Học Tọa Độ OxyzDấu bằng xảy ra khi: x =3x2 , x = 3 − 1 ⇔ x = y = 3 − 1 ⇒ V1 =V23−y2y−[]23 −1 = 4 − 2 3 .Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 = 8 và điểm1 3 M ;;0 . Xét đường thẳng ∆ thay đổi qua M , cắt [ S ] tại hai điểm phân biệt A, B .2 2 Hỏi diện tích lớn nhất của tam giác OAB là?A. 4 .B.7.D. 8 .C. 2 7 .Hướng dẫn giải:Chọn A111Ta có: S ∆OAB = .OA.OB.sin AOB ≤ .OA.OB ⇔ S ∆OAB ≤ . 2 2222[]2= 4.Diện tích tam giác OAB lớn nhất là 4 khi sin AOB = 1 ⇔ AOB = 90° .Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểmA [ m;0;0 ] B [ 0; n;0 ] C [ 0;0; −2 ],,vàD [ m; n; −2 ], với m , n là các số thực thay đổi thỏa mãn 2m + n = 1 . Hỏi bán kính mặt cầungoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ nhất là?A.105.10B.17.4C.21.5Hướng dẫn giải:Chọn AGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:[ S ] : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 [ a 2 + b2 + c 2 − d > 0] .Vì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên:m 2 + 2ma + n 2 + 2bn + 4 − 4c + d = 0m2 + 2ma + n 2 + 2bn = 0 2 22m + 2ma + d = 0m + 2ma + n + 2bn + 2d = 0⇔4 − 4c + d = 04 − 4c + d = 0n 2 + 2bn + d = 0n2 + 2bn + d = 0ma = − 2m2 + 2am = 0 2nn + 2bn = 0⇔⇔ b = − .2 4 − 4c = 0d = 0c = 1d = 0167D.17.2 Hình Học Tọa Độ OxyzBán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a 2 + b2 + c 2 − d =11m2 + n2 + 1 12m2 + n2 + 4 =m 2 + [1 − 2m ] + 4 ==5m 2 − 4 m + 5422222 21 21105Ta có: 5m 2 − 4m + 5 = 5 n − + ≥.⇒ Rmin =55510Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A [ m;0; 0 ] , B [ 0;1;0 ] , C [ 0;0; n ] vớim, n là các số thực thỏa mãn m.n = 2 . Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC cóbán kính nhỏ nhất là?A.2.B.5.2C.3.2D.2.2Hướng dẫn giải:Chọn BGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:[ S ] : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 [ a 2 + b2 + c 2 − d > 0] .md = 0a = − 2 2nm + 2ma = 0⇔ c = − .Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên: 21 + 2b = 01n 2 + 2cn = 0b = − 2Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a 2 + b2 + c 2 − d =Ta có: n 2 +m2 + n2 + 1 11 2 4m2 + n2 + 1 =n + 2 +1=n422445+ 1 ≥ 2 n 2 . 2 + 1 = 5 ⇒ Rmin =.2nn2Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A [ m;0;0 ] , B [ 0; n; 0 ] , C [ 0;0;1] vàD [ m; n;1] với m , n là các số thực thỏa mãn m.n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABCcó bán kính nhỏ nhất là?A.2.B.6.2C.3.2Hướng dẫn giải:Chọn DGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:[ S ] : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 [ a 2 + b2 + c 2 − d > 0 ] .168D.5.2 Hình Học Tọa Độ OxyzVì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên:m2 + 2ma + d = 0m 2 + n 2 + 2ma + 2bn + 2d = 0 2n + 2nb + d = 01 + 2c + d = 0⇔ 21 + 2c + d = 0m + 2ma + d = 022m + n + 2ma + 2bn + 1 + 2c + d = 0 m 2 + n 2 + 2ma + 2bn = 0ma=−2 m 2 + 2ma = 0 2b = − n n + 2bn = 0⇔⇔2 .+=c1201c = −d = 02 d = 0Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:2R = a2 + b2 + c2 − d =Ta có: n 2 +1 2 21 2 4m2 + n2 + 1 1m2 + n2 + 1 =n + +1 =n + 2 +1=4222nn445+ 1 ≥ 2 n 2 . 2 + 1 = 5 ⇒ Rmin =.2nn2Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A [ m;0; 0 ] , B [ 0;1;0 ] , C [ 0;0; n ] vớim, n là các só thực thỏa mãn m + 2n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kínhnhỏ nhất là?A.B.2.5.2C.3 5.10D.3 5.2Hướng dẫn giải:Chọn CGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:[ S ] : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 [ a 2 + b2 + c 2 − d > 0] .md = 0a = − 2 2nm + 2ma = 0 ⇔ c = − .Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên: 21 + 2b = 021n + 2cn = 0b = − 2Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a2 + b2 + c2 − d =m2 + n2 + 1 11 212m2 + n2 + 1 =n + [ 2 − 2n ] + 1 ==5n 2 − 8n + 5422224 9 93 5Ta có: 5n − 8n + 4 = 5 n − + ≥ ⇒ Rmin =.5 5 5102169 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 55: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A [10; 2;1] , B [ 3;1; 4 ] và mặt cầu[ S ] : [ x − 1] + [ y − 2] + [ z − 1]= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu [ S ] . Hỏi giá trị nhỏnhất của biểu thức MA + 3MB là?2A. 3 14 .22B. 9 .D. 6 3 .C. 3 11 .Hướng dẫn giải:Chọn BGọi E là điểm thỏa mãn: OE = 3OB ⇒ E []Gọi O là trung điểm của AB , ta có SO ⊥ [ ABC ] . SC ⊥ AHTa lại có: ⇒ SC ⊥ [ AHB ] ⇒ SC ⊥ OH . SC ⊥ ABVì vậyV1 SH SO 2SO 216==== ⇒ SO = 2 .23V SC SC19SO 2 +4Câu 56: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng [ P ] : x + y − z − 3 = 0 và tọa độ haiđiểm A [1;1;1] , B [ −3; −3; −3] . Mặt cầu [ S ] đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với [ P ] tạiđiểm C . Biết rằng C luôn thuộc một đường trịn cố định. Tính bán kính của đường trịn đó?A. R = 4B. R =2 333C. R =2 113D. R = 6Hướng dẫn giải:Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm D [ 3;3;3] là giaoBđiểm của [ AB ] và [ P ] . Do đó theo tính chất củaAphương tích ta được: DA.DB = DI 2 − R 2 . Mặt khác vìDC là tiếp tuyến của mặt cầu [ S ] cho nênDC 2 = DI 2 − R 2 .Do vậy DC 2 = DA.DB = 36 cho nên DC = 6 [Là mộtPDICgiá trị khơng đổi].Vậy C ln thuộc một đường trịn cố định tâm D với bán kính R = 6 .Chọn D.Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng [ P ] : x + 2 y + z − 4 = 0 . Có tất cả baonhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng [ P ] và tiếp xúc với ba trục tọa độx ' Ox, y ' Oy , z ' Oz ?A. 8 mặt cầuB. 4 mặt cầuC. 3 mặt cầuD. 1 mặt cầuHướng dẫn giải:Gọi tâm I [ a, b, c ] , ta có a + 2b + c = 4 . Vì d [ I , Ox ] = d [ I , Oy ] = d [ I , Oz ]⇒ a 2 + b2 = b2 + c 2 = c 2 + a 2 ⇔ a = b = c ếu a = m, b = m, c = − m ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2 ⇒ I [ 2; 2; −2 ]170 Hình Học Tọa Độ Oxyz ếu a = m, b = m, c = m ⇒ m = 1 ⇒ I [1;1;1] ếu a = m, b = − m, c = m ⇒ 0 = 4 [Loại] ếu a = − m, b = m, c = m ⇒ 2m = 4 ⇒ I [ −2; 2; 2 ]Vậy có tất cả 3 mặt cầu thỏa mãn điều kiện của bài tốn đưa ra.Câu 58: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng [ P ] : 2mx + [ m 2 + 1] y + [ m 2 − 1] z − 10 = 0 vàđiểm A [ 2;11; −5 ] . Biết khi m thay đổi tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng[ P]và đi qua A . Tìm tổng bán kính hai mặt cầu đó.A. 7 2B. 15 2C. 5 2Hướng dẫn giải:Gọi tâm I [ a, b, c ] khi đó bán kính mặt cầu: R = IA = d I , [ P ][⇔R=[ a − 2 ] + [ b − 11] + [ c + 5]2⇔R=[ a − 2 ] + [ b − 11] + [ c + 5]22222==D. 12 2]2ma + [ m 2 + 1] b + [ m 2 − 1] c − 10[m2+ 1] 2m 2 [ b + c ] + 2ma + b − c − 10[m2+ 1] 2đúng với ∀m ∈ R .a = 0a = 0nên⇔b + c = b − c − 10c = −5Do vậy R = 4 + [ b − 11] =2b = 9⇒⇒ R1 + R2 = 12 2 .2b = 25b−5Câu 59: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình các mặt phẳng [ P ] : x − y + 2 z + 1 = 0và [ Q ] : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi [ S ] là mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng[ P]theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2 và cắt mặt phẳng [ Q ] theo giaotuyến là một đường trịn có bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ tồn tại duy nhất mộtmặt cầu thỏa mãn điều kiện đã cho.102A. r =B. r =3 22C. r = 3D. r =142Hướng dẫn giải:[Ta gọi I [ a; 0;0 ] là tâm mặt cầu. Khi đó bán kính: R 2 = r 2 + d I , [ Q ]⇔r2[ 2a − 1]+26[ a + 1]= 4+6]2= 22 + d [ I , [ P ] ]22do đó để có duy nhất 1 tâm mặt cầu thỏa mãn thì giải ∆ = 0 .Chọn B.Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu [ S ] : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 vàđiểm A [ 2; 2;0 ] . Viết phương trình mặt phẳng [ OAB ] , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu [ S ], có hồnh độ dương và tam giác OAB đều.A. x − y − 2 z = 0Hướng dẫn giải:171B. x − y − z = 0C. x − y + z = 0D. x − y + 2 z = 0 Hình Học Tọa Độ OxyzTa có OA = 2 2 do đó điểm B nằm trên các mặt cầu tâm O và tâm A có cùng bán kính 2 2nên tọa độ B là nghiệm của hệ: x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 x2 + y 2 + z 2 = 8 222⇔ x + y + z = 0 ⇔ B [ 2;0; −2 ] .x + y + z = 8222x + y = 2[ x − 2 ] + [ y − 2 ] + z = 8Câu 61: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho A [1, 0,1] , B [ −3, 4, −1] , C [ 2, 2,3] .Đường thẳng d đi qua A , cắt các mặt cầuđường kính AB và AC lần lượt tại các điểmM , N khơng trùng với A sao cho đường gấpkhúc BMNC có độ dài lớn nhất có vector chỉphương là?A. u = [1, 0, 2 ]B. u = [1, 0,1]C. u = [1, 0, −1]D. u = [ 2, 0, −1]Hướng dẫn giải:Ta phát hiện được tam giác ABC vuông tại A mặtkhác: MA + MB ≤ 2 [ MA2 + MB 2 ] = AB 2⇒ BM + MN + NC ≤ [ AB + AC ] 2 NA + NB ≤ 2 [ NA2 + NB 2 ] = AC 2Chú ý rằng đẳng thức xảy ra được bởi vì trong trường hợp các tam giác MAB, NAC vuông cân vàtam giác ABC vng thì A, M , N vẫn thẳng hàng cho nên đường thẳng d khi đó có u = [1, 0,1]. [Học sinh cần tự tìm các tọa độ của M , N sao cho các tam giác MAB, NAC vuông cân tại M , Nvà nằm trong mặt phẳng [ ABC ] ].Chọn B.Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng[ P ] : 2n [1 − m 2 ] x + 4mny + [1 + m 2 ][1 − n 2 ] z + 4 [ m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1] = 0 với m, n là các sốthực tùy ý. Biết rằng mặt phẳng [ P ] luôn tiếp xúc với một mặt phẳng cố định. Tìm bán kínhcủa mặt cầu đó.A. 2.Hướng dẫn giải:B. 1.C. 4.D.2.Chọn CGọi I [ x0 ; y0 ; z0 ] là tâm mặt cầu và R là bán kính, ta có:R = d [ I , [ P ]] =1722n [1 − m 2 ] x0 + 4mny0 + [1 + m 2 ][1 − n 2 ] z0 + 4 [ m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1] 2n [1 − m 2 ] + [ 4mn ]2 + [1 + m 2 ][1 − n 2 ] 22 Hình Học Tọa Độ Oxyz==2n [1 − m 2 ] x0 + 4mny0 + [1 + m 2 ][1 − n 2 ] z0 + 4 [ m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1][m2+ 1] + [ n 2 + 1]222n [1 − m 2 ] x0 + 4mny0 + [1 + m 2 ][1 − n 2 ] z0 + 4 [ m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1]m 2 + n 2 + m2 n 2 + 1.Chọn x0 = y0 = z0 ⇒ R = 4.Vậy [ P ] luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định I [ 0;0;0 ] và R = 4.Chọn C.Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng[ P ] : x − y + 2 z + 1 = 0; [ Q ] : 2 x + y + z − 1 = 0. Gọi [ S ] là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox ,[ S ] cắt [ P ] theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2; [ S ] cắt [ Q ]đồng thờitheo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng r. Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một[ S ] thỏa mãn điều kiện bài toán.mặt cầu10.2Hướng dẫn giải:A. r =B. r =3 2.2C. r = 3.D. r =5.2Chọn BGọi I [ m;0;0 ] thuộc trục Ox là tâm của [ S ] và R là bán kính của [ S ] . Theo giả thiết, ta có:d 2 [ I , [ P ] ] + 22 = R 2⇒ r 2 + d 2 [ I , [Q ]] = 4 + d 2 [ I , [ P ]]. 222+=dI,QrR [ [ ] ]Vậy ta có phương trình: r 2 +[ 2m − 1]62= 4+[ m + 1]62⇔ 3m 2 − 6m + 6r 2 − 24 = 0.Để có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn thì phương trình trên có nghiệm duy nhất, do đó:∆′m = 9 − 3 [ 6r 2 − 24 ] = 0 ⇔ r =3 2.2Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A, B, C lần lượt là giao điểmxyzcủa mặt phẳng [ P ] : ++= 1 với các trục tọa độ Ox, Oy , Oz; trong đóm m −1 m + 4m ∉ {0;1; −4} là tham số thực thay đổi. Điểm O , D nằm khác phía với mặt phẳng [ P ] vàBC = AD, CA = BD, AB = CD. Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhấtlà?173 Hình Học Tọa Độ Oxyz7.2Hướng dẫn giải:A.B.14.2C.7.D. 14.Chọn BTheo giả thiết, ta có A [ m;0; 0 ] , B [ 0; m − 1;0 ] , C [ 0;0; m + 4 ] và BC , CA, AB, DB, DA, DC lầnlượt là đường chéo các mặt của một hình hộp chữ nhật OAD′C.BA′DC ′ như hình vẽ dưới.Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật m m −1 m + 4 đã cho. Vì vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là I ;;.2 2 22223 [ m + 1] + 1414 m m −1 m + 4 . Dấu “=” xảy ra khi≥Do đó R = IO = + + =222 2 2 m = −1.2Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng [ P ] : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và mặt cầu[ S ] : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0 . Giả sử M ∈ [ P ] và N ∈ [ S ] sao chophương với véc tơ u = [1;0;1] và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN .A. MN = 3 .Hướng dẫn giải:B. MN = 1 + 2 2 .C. MN = 3 2 .Chọn CMặt cầu [ S ] có tâm I [ −1; 2;1] , R = 1 .Xét điểm M [ x; y; z ] ∈ [ P ] ⇒ x − 2 y + 2 z − 3 = 0 .Theo giả thiết MN = ku = [ k ;0; k ] ⇒ N [ x + k ; y; z + k ] và N ∈ [ S ] nên[x+ k]2+ y2 + [ z + k ] + 2 [ x + k ] − 4 y − 2 [ z + k ] + 5 = 02⇔ [ x + k + 1] + [ y − 2 ] + [ z + k − 1] = 1 .217422MN cùngD. MN = 14 . Hình Học Tọa Độ OxyzDo x − 2 y + 2 z − 3 = 0 ⇔ [ x + k + 1] − 2 [ y − 2 ] + 2 [ z + k − 1] = 3k + 6 .Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwar, ta có:[ 3k + 6 ][]2222≤ 12 + [ −2 ] + 22 . [ x + k + 1] + [ y − 2 ] + [ z + k − 1] = 9 ⇔ −3 ≤ k ≤ −1⇒ MN = k . 2 ≤ 3 2 .Chọn C.Dấu bằng xảy ra khi k = −3 .Cách 2: Gọi H là hình chiếu vng góc của N lên [ P ] , ta có:MN =2NHcos MNH=NH[cos u , nP]≤r + d [ I ; [ P ]][cos u , nP]=1+ 2=3 2.12Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A [ a;0;0 ] , B [ 0; b;0 ] , C [ 0;0; c ] với3 10ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi2tổng OA + OB + OC nhỏ nhất thì mặt cầu [ S ] tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới đây?a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và mặt cầu [ S ] có bán kính bằngA. 2 x + 2 y − 2 z + 6 + 3 2 = 0 .B.C. 2 x + 2 y − 2 z + 7 − 2 2 = 0 .D.Hướng dẫn giải:Chọn Da b zTâm mặt cầu [ S ] là điểm I ; ; và bán kính2 2 2222x + 2 y − 2z + 3 + 2 2 = 0 .2x + 2 y + 2z + 3 − 2 2 = 0 .23 10a b c⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 90 .R = + + =2222 Khi đó: OA + OB + OC = a + b + c = a 2 + b 2 + 2ab + c= 90 − c 2 + 2ab + c ≥ 90 − c 2 + 2.4.5 + c= 130 − c 2 + c ≥ min y = y [ 7 ] = 16 .[0; +∞ ]3 10 5 7.Khi đó I 2; ; và rõ rang d [ I , [ P ] ] : 2 x + 2 y + 2 z + 3 − 2 2 = 0 =2 2 2Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu [ S ] : [ x − 1] + [ y − 1] + [ z − 1] = 4 và222mặt phẳng [ P ] : 2 + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Gọi [ Q ] là mặt phẳng thay đổi qua A [ −2;1;1] và tiếpxúc với mặt cầu [ S ] . Hỏi góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng [ P ] , [ Q ] là?2 10 − 210 − 12 10 + 2.B. arccos.C. arccos.999Hướng dẫn giải:Chọn CTa có [ Q ] : a [ x + 2 ] + b [ y − 1] + c [ z − 1] = 0 theo giả thiết, ta cóA. arccos175D. arccos10 + 1.9 Hình Học Tọa Độ Oxyzd [ I , [Q ]] = 2 ⇔3a22= 2 ⇔ b2 + c 2 =2a +b +cKhi đó góc giữa [ P ] , [ Q ] xác định bởi5 2a .4a + 2b + 2ccos α =12 + 22 + 2 2 . a 2 + b 2 + c 225 2 + 2 10b+c 2.= 1+ 2= ≤ 1 + 292 9 a 9⇒ a ≥ arccosBởi vì2 + 2 10.925 215b + c 10 10 2b+c;∈ −a = b2 + c 2 ≥ [ b + c ] ⇒ . ≤ ⇒4222 a a 2Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A [10; 2;1] , B [ 3;1; 4 ] và mặt cầu[ S ] :[ x − 1] + [ y − 2 ] + [ z − 1]222= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu [ S ] . Hỏi giá trị nhỏnhất của biểu thức MA + 3MB là?A. 3 14 .B. 9 .Hướng dẫn giải:Chọn CMặt cầu [ S ] tâm I [1;2;1] , R = 3 .C. 3 11 .Ta chọn điểm C trên đoạn IA sao cho ∆ICM ∼ ∆IMA theo tỉ sốIC IM MC 1IC IM 2 R 29 1=== ⇒== 2 = 2 =2IMIA MA 3IA IAIA991⇒ IC = IA = [1;0;0 ] ⇒ C [ 2; 2;1] .9Khi đó MA + 3MB = 3 [ MC + MB ] ≥ 3BC = 3 12 + 12 + 32 = 3 11Dấu bằng đạt tại M = BC ∪ [ S ] .176D. 6 3 .1; tức3