Cho tập A={0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 3?
Nếu $5$ chữ số không nhất thiết phải khác nhau thì giải như sau :
Chia tập $A$ thành $3$ tập không giao nhau :
$X=\left \{ 0;3;6 \right \}$ ; $Y=\left \{ 1;4 \right \}$ ; $Z=\left \{ 2;5 \right \}$
Các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $\overline{abcde}$
Xét $7$ trường hợp sau :
$1]$ $5$ chữ số [cs] đều thuộc $X$
+ Chọn $a$ : $2$ cách
+ Mỗi vị trí còn lại : có $3$ cách
$\Rightarrow$ TH $1$ có $2.3^4=162$ số
$2]$ $3$ cs thuộc $X$; $1$ cs thuộc $Y$ ; $1$ cs thuộc $Z$
$\alpha ]$ Nếu $a\in X$
+ Chọn thêm $2$ vị trí thuộc $X$ : $C_{4}^{2}=6$ cách
+ Chọn $1$ vị trí thuộc $Y$ : $2$ cách
+ Điền số vào $3$ vị trí thuộc $X$ : $2.3^2=18$ cách
+ Điền số vào $2$ vị trí còn lại : $2.2=4$ cách
$\beta ]$ Nếu $a\notin X$
+ Chọn $3$ vị trí thuộc $X$ : $C_{4}^{3}=4$ cách
+ Chọn $1$ vị trí thuộc $Y$ : $2$ cách
+ Điền số vào $3$ vị trí thuộc $X$ : $3^3=27$ cách
+ Điền số vào $2$ vị trí còn lại : $2.2=4$ cách
$\Rightarrow$ TH $2$ có $6.2.18.4+4.2.27.4=1728$ số
$3]$ $1$ cs thuộc $X$; $2$ cs thuộc $Y$; $2$ cs thuộc $Z$
Làm tương tự $\Rightarrow$ TH $3$ có $6.2.2^4+4.6.3.2^4=1344$ số
$4]$ $2$ cs thuộc $X$ ; $3$ cs thuộc $Y$
Tương tự, TH $4$ có $4.2.3.2^3+6.3^2.2^3=624$ số
$5]$ $2$ cs thuộc $X$ ; $3$ cs thuộc $Z$
Tương tự, TH $5$ có $624$ số
$6]$ $4$ cs thuộc $Y$ ; $1$ cs thuộc $Z$
TH $6$ có $5.2^5=160$ cách
$7]$ $1$ cs thuộc $Y$ ; $4$ cs thuộc $Z$
TH $7$ cũng có $160$ số
Vậy có $162+1728+1344+624.2+160.2=4802$ số
[Đáp án kia không đúng đâu]
Đáp án:
1260 cách
Giải thích các bước giải:
Gọi số cần tìm là \[\overline {abcde} \]
TH1: Chọn e=0 có 1 cách
Chọn a có 6 cách
Chọn b có 5 cách
Chọn c có 4 cách
Chọn d có 3 cách
⇒ Quy tắc nhân: \[1.6.5.4.3 = 360\] cách
TH2: Chọn e ∈ { 2;4;6} có 3 cách
Chọn a có 5 cách \[\left[ {a \ne 0} \right]\]
Chọn b có 5 cách \[\left[ {b \ne a;e} \right]\]
Chọn c có 4 cách
Chọn d có 3 cách
⇒ Quy tắc nhân:
\[3.5.5.4.3 = 900\] cách
⇒ Quy tắc cộng: 900+360=1260 cách