Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,939,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,381,Đề thi thử môn Toán,48,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,185,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,192,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,280,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,5,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,6,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,129,Toán 11,173,Toán 12,366,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’[x0]. [x – x0] + y0
1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M[x0, y0] thuộc đồ thị hàm số [tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M[x0; y0] làm tiếp điểm].
Phương trình tiếp tuyến với hàm số [C]: y = f[x] tại điểm M[x0; y0] ∈ [C]
[hoặc tại h x = x0 ] có dạng: y =f’[x0].[x – x0] + y0.
2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A [xA, yA] cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số [tức là mọi tiếp tuyến đi qua A[xA, yA]].
Cho hàm số [C]: y = f[x]. Giả sử tiếp điểm là M[x0, y0], khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’[x].[x – x0] + y0 [d].
Điểm A[xA, yA] ∈ d, ta được: yA = f’[x0]. [xA – x0] + y0 => x0
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k
Cho hàm số [C]: y = f[x]. Giả sử tiếp điểm là M[x0;y0], khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’[x0].[x – x0] + y0.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:
f’[x0] = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f[x0].
Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’[x0]. [x – x0] + y0.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M[x0; y0] có hệ số góc k có dạng;
d:y = g’[x] = k.[x – x0] + y0.
Điều kiện để đường thằng y = g[x] tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f[x] là hệ phương trình sau có nghiệm: \[\left\{\begin{matrix} f[x]=g[x] & \\ f'[x]=g'[x] & \end{matrix}\right.\]
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
II. Bài tập
Loại 1: Cho hàm số y =f[x]. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0[x0; y0] ∈ [C].
Giải
Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k[x – x0] + y0 [*]
Với x0 là hoành độ tiếp điểm;
Với y0 = f[x0] là tung độ tiếp điểm;
Với k = y’[x0] = f’[x0] là hệ số góc của tiếp tuyến.
Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x0; y0 và k.
MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0[x0;y0] ∈ [C]
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
-Giải phương trình y0 = f[x0] để tìm x0.
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’[x0] = f’[x0]
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’[x0] = f’[x0] để tìm x0
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Chú ý: Một số dạng khác
-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này
y’[x0]. a = -1 ⇔ y’[x0] = -1/a
... Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = ax + b thì điều này ⇔ y’[x0] = a… Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của [C] và đường thẳng… Quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là hệ số góc của đường thẳng d2.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một bài toán quan trọng vì nó thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh lớp 11 và lớp 12 luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.
Trước tiên, chúng ta cần biết được tiếp tuyến là gì. Nói đơn giản và dễ hiểu thì như thế này:
Giả sử hàm số y=f[x] có đồ thị là một đường cong mà ta ký hiệu là [C], đường thẳng d tiếp xúc với [C] tại điểm gọi là tiếp tuyến của [C] tại điểm M.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong định nghĩa này, chúng ta có khái niệm "d tiếp xúc với [C]", vậy như thế nào là tiếp xúc? Ta có thể xem hình bên trên để phân biết giữa tiếp xúc và cắt. Ta thấy đường thẳng d tiếp xúc với [C] tại điểm M và cắt [C] tại điểm N.
Điểm được gọi là tiếp điểm [điểm tiếp xúc] của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số y=f[x] nên .
Ta thừa nhận rằng, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm chính bằng đạo hàm của hàm số y=f[x] tại điểm . Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến:
Trong một bài toán viết phương trình tiếp tuyến, ta chỉ cần tìm được tọa độ tiếp điểm và hệ số góc là có thể viết được phương trình.
Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm. Với dạng này ta chỉ cần tính thêm hệ số góc là có thể viết ra được phương trình.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .
Giải
Ta có:
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ giao điểm. Nghĩa là ta đã biết được , ta cần tìm thêm và hệ số góc .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm. Nghĩa là ta đã biết được . Ta sẽ tìm và hệ số góc.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm thêm tọa độ của tiếp điểm để viết được phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là:
Với suy ra phương trình tiếp tuyến:
Với suy ra phương trình tiếp tuyến:
Chú ý: Dạng 4 có thể cho ở dạng viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó ta sử dụng nhận xét sau để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
- Hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Ngoài ra, ta cần phải nhớ rằng: đường thẳng có phương trình thì có hệ số góc là .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: .
Giải
Ta có:
Đường thẳng d:
Suy ra hệ số góc của d là .
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến là .
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có:
[phương trình vô nghiệm]
Vậy không có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Trên đây là các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản bắt buộc phải nắm được trước khi tiếp cận với những dạng khó hơn trong các đề thi tuyển sinh đại học.