Xét sự hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh
Full PDF PackageDownload Full PDF Package This Paper Show A short summary of this paper 0 Full PDFs related to this paper Download PDF Pack Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là
lim
n
→
∞
a
n
≠
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}
thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.
Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng.[1] Ví dụ, với chuỗi 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.[cần dẫn nguồn] Tiêu chuẩn tích phânChuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho f : [ 1 , ∞ ) → R + {\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}} là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}} . Nếu tích phân vô định ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,} thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi a n {\displaystyle {a_{n}}} hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.Dấu hiệu p-chuỗiMột hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số k > 0 {\displaystyle k>0} . Vậy thì chuỗi ∑ n = k ∞ ( 1 n p ) {\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}} hội tụ khi và chỉ khi p > 1 {\displaystyle p>1} . Trường hợp p = 1 , k = 1 {\displaystyle p=1,k=1} ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp p = 2 , k = 1 {\displaystyle p=2,k=1} là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} . Tổng quát, với p > 1 , k = 1 {\displaystyle p>1,k=1} , chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với p {\displaystyle p} tức là ζ ( p ) {\displaystyle \zeta (p)} . Tiêu chuẩn so sánh trực tiếpNếu chuỗi ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng | a n | ≤ | b n | {\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|} với n đủ lớn, thì chuỗi ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} cũng hội tụ tuyệt đối. Tiêu chuẩn so sánh giới hạnNếu { a n } , { b n } > 0 {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0} , (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} phân kỳ khi và chỉ khi ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} phân kỳ. Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn Cauchy cô đọngCho { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn A = ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} hội tụ khi và chỉ khi tổng A ∗ = ∑ n = 0 ∞ 2 n a 2 n {\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}} hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức A ≤ A ∗ ≤ 2 A {\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A} được thỏa mãn. Dấu hiệu hội tụ tuyệt đốiMọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ. Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấuGiả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy ∑ n = k ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}} và ∑ n = k ∞ ( − 1 ) n + 1 a n {\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}} là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz. Dấu hiệu AbelGiả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy thì chuỗi ∑ a n b n {\displaystyle \sum a_{n}b_{n}} cũng hội tụ. Dấu hiệu DirichletNếu { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} là một dãy số thực và { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} là một dãy số phức thỏa mãn
trong đó M là một hằng số, thì chuỗi ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}hội tụ. Dấu hiệu hội tụ Raabe–DuhamelCho dãy a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} . Định nghĩa dãy b n = n ( a n a n + 1 − 1 ) . {\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}Nếu giới hạn L = lim n → ∞ b n {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}tồn tại thì có ba khả năng:
Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σan là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho | a n + 1 a n | ≤ 1 − b n {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ. Dấu hiệu BertrandCho { an } là một dãy số dương. Định nghĩa b n = ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) . {\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}Nếu tồn tại giới hạn thì có ba khả năng:[2][3]
Dấu hiệu GaussCho { an } là một dãy số dương. Nếu a n a n + 1 = 1 + α n + O ( 1 / n β ) {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })} với một số β > 1, thì ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.[4] Chú ý
Xét chuỗi ( ∗ ) ∑ n = 1 ∞ 1 n α . {\displaystyle (*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.} Theo tiêu chuẩn Cauchy cô đọng, (*) hội tụ hữu hạn khi ( ∗ ∗ ) ∑ n = 1 ∞ 2 n ( 1 2 n ) α {\displaystyle (**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}cũng hội tụ hữu hạn. Bởi ∑ n = 1 ∞ 2 n ( 1 2 n ) α = ∑ n = 1 ∞ 2 n − n α = ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − α ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}(**) là một chuỗi hình học với công bội 2 ( 1 − α ) {\displaystyle 2^{(1-\alpha )}} . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là α > 1 {\displaystyle \alpha >1} ). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi α > 1 {\displaystyle \alpha >1} . Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn
∏
n
=
1
∞
(
1
+
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}
hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn
0
<
a
n
<
1
{\displaystyle 0 Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.[5]
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Dấu_hiệu_hội_tụ&oldid=67906299” |