- LG a
- LG b
- LG c
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] với \[\left[ {{u_n}} \right] = 1 + \left[ {n - 1} \right]{.2^n}.\]
LG a
Viết năm số hạng đầu của dãy số
Phương pháp giải:
Cho \[n\] nhận lần lượt các giá trị \[1,2,3,4,5\] suy ra \[5\] số hạng đầu
Lời giải chi tiết:
Ta có \[5\] số hạng đầu của dãy là \[1;5;17;49;129\]
LG b
Tìm công thức truy hồi
Phương pháp giải:
Tìm hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n}.\]
Lời giải chi tiết:
\[{u_{n + 1}} - {u_n}\] \[ = 1 + n{.2^{n + 1}} - 1 - \left[ {n - 1} \right]{2^n}\] \[ = 2n{.2^n} - \left[ {n - 1} \right]{2^n}\] \[ = {2^n}\left[ {n + 1} \right]\]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left[ {n + 1} \right]\]
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left[ {n + 1} \right]{2^n}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\]
LG c
Chứng minh \[\left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Phương pháp giải:
Xét dấu \[{u_{n + 1}} - {u_n}\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {n + 1} \right]{.2^n} > 0\] nên dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng.
Do đó \[{u_n} \ge {u_1} = 1,\forall n\] nên dãy đã cho bị chặn dưới.