Bài tập bất phương trình logarit chứa tham số năm 2024
|
Bài viết sau đây, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc tổng hợp các dạng toán về bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và cách giải từng dạng toán một cách chi tiết nhất. Mảng kiến thức thuộc chương trình toán 12 và xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc Gia môn toán. Show 1. Đưa về cùng cơ số2. Đặt ẩn phụαa2f(x) + βaf(x) + λ = 0. Đặt t = a f(x), (t > 0) 3. Phương pháp logarit hóaCách giải bất phương trình logarit1. Đưa về cùng cơ số2. Phương pháp mũ hóaPhân loại và phương pháp giải bài tậpDạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ sốPhương pháp giảiBất phương trình mũ cơ bản– Bất phương trình hoặc – Bất phương trình – Bất phương trình Bất phương trình logarit cơ bản– Bất phương trình hoặc – Bất phương trình – Bất phương trình Bài tập vận dụngCâu 1. Cho bất phương trình log7 (x2 + 2x + 2) + 1 > log7 (x2 + 6x + 5 + m). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1; 3)?
Hướng dẫn giải BPT , với f(x) = –x2 – 6x – 5; g(x) = 6x2 + 8x + 9 Xét sự biến thiên của hai hàm số f(x) và g(x) f’(x) = –2x – 6 < 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1; 3) g’(x) = 12x + 8 > 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1; 3) Khi đó –12 < m < 23 Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {–11; –10; …; 22} Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⟹ Chọn C Câu 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log2 (7x2 + 7) ≥ log2 (mx2 + 4x + m) có tập nghiệm là ℝ. Tổng các phần tử của S là
Hướng dẫn giải ⟹ Chọn C BPT có tập nghiệm ℝ , ∀ x ∈ ℝ Ta có: Ta có: Do đó Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4; 5} Vậy S = 3 + 4 + 5 = 12. Câu 3. Bất phương trình có tập nghiệm là . Hỏi M = a + b bằng?
Hướng dẫn giải Ta có Nên ⇒ M = a + b = 1 + 9 = 10 ⟹ Chọn C Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình là: Hướng dẫn giải ĐKXĐ: Bất phương trình Kết hợp điều kiện ta được: ⟹ Chọn B Câu 5. Bất phương trình ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
Hướng dẫn giải ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x ⟹ Chọn D Câu 6. Bất phương trình (3x – 1)(x2 + 3x – 4) có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?
Hướng dẫn giải Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ta thấy các giá trị thỏa là {–3; –2; –1; 2; 3; 4; 5} ⟹ Chọn C Câu 7. Nghiệm của bất phương trình là
Hướng dẫn giải Do nên ⟹ Chọn D Câu 8. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
Hướng dẫn giải Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}. ⟹ Chọn C Câu 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình logm (2x2 + x + 3) ≤ logm (3x2 – x) với m là tham số thực dương khác 1, biết x = 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hướng dẫn giải Do x = 1 là nghiệm nên ta có logm 6 ≤ logm 2 ⇒ 0 < m < 1. Bất phương trình tương đương với Vậy S = [–1; 0) ∪ ⟹ Chọn D Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 1 + log5 (x2 + 1) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.
Hướng dẫn giải Ta có: 1 + log5 (x2 + 1) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) ⇔ log5 (5x2 + 5) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với x ∈ ℝ điều kiện là cả (1) và (2) đều thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ. Điều kiện là ⟹ Chọn C Câu 11. Bất phương trình ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
Hướng dẫn giải Ta có ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x ⟹ Chọn D Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?
Hướng dẫn giải Ta có: Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Mà m là số nguyên không dương nên m ∈ {–1; 0}. Suy ra S = {–1; 0}. Vậy số tập con của S bằng 22 = 4 . Chú ý: Các tập con của S là: ∅, {–1}, {0}, S Một tập hợp có n phần tử thì số tập con của nó là n = 2 . ⟹ Chọn D Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m có nghiệm với mọi x ∈ (–∞; 0)
Hướng dẫn giải log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m TXĐ: D = ℝ ĐK tham số m: m > 0 Ta có: log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m ⇔ log2 (3x + 1) < m Xét hàm số f(x) = log2 (3x + 1), ∀ x ∈ (–∞; 0) có H57, ∀ x ∈ (–∞; 0) Bảng biến thiên f(x): Khi đó với yêu cầu bài toán thì m ≥ 1. ⟹ Chọn D Câu 14. Nghiệm của bất phương trình là
Hướng dẫn giải Điều kiện Ta có ⟹ Chọn A Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ: 1 + log6 (x2 + 1) ≥ log6 (mx2 + 2x + m).
Hướng dẫn giải Điều kiện: mx2 + 2x + m > 0 Ta có: 1 + log6 (x2 + 1) ≥ log6 (mx2 + 2x + m) ⇔ log6 [6(x2 + 1)] ≥ log6 (mx2 + 2x + m) ⇔ 6(x2 + 1) ≥ mx2 + 2x + m ⇔ (m – 6)x2 + 2x + m – 6 ≤ 0 Điều kiện bài toán Giải (1): Do m = 0 không thỏa (1) nên Giải (2): Do m = 6 không thỏa (2) nên: Suy ra 1 < m ≤ 5 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m. ⟹ Chọn C Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụPhương phápBất phương trình mũTổng quát: Ta thường gặp các dạng: – m․a2f(x) + n․af(x) + p = 0 – m․af(x) + n․bf(x) + p = 0, trong đó a․b = 1. Đặt t = af(x), t > 0. Suy ra – m․a2f(x) + n․(a․b)f(x) + p․b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt Bất phương logarit– Tổng quát: Bài tập vận dụngCâu 1. Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình
Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Phương trình Đặt thì phương trình trở thành: Do đó Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8. ⟹ Chọn C Câu 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 ⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m + 1) log2 x – 2 < 0 (1) Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈ (1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 <0 (2) Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2 Khi đó cần Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0 Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được ⟹ Chọn C Câu 3. Cho bất phương trình: 9x + (m – 1)․3x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ x > 1 . Hướng dẫn giải Đặt t = 3x Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m – 1)․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3 nghiệm đúng ∀ t > 3 Xét hàm số Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và Yêu cầu bài toán tương ⟹ Chọn A Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng (256; +∞)
Hướng dẫn giải Điều kiện: Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95 Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ (256; +∞) Đặt Yêu cầu bài toán Xét hàm số trên khoảng (8; +∞) Ta có ⇒ f(t) luôn nghịch biến trên khoảng (8; +∞) Do đó Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}. Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⟹ Chọn C Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1. A m ≥ 6 B m > 6 C m ≤ 6 D m < 6 Hướng dẫn giải Điều kiện của bất phương trình: x > 0 Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1+ log2 (5x – 1)] ≥ m (1) Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2) Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞). Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6. ⟹ Chọn C Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?
Hướng dẫn giải Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 (*) Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*). ⟹ Chọn D Câu 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.
Hướng dẫn giải Điều kiện của bất phương trình là x > 0. Khi đó: Đặt t = log2 x. Ta có: Trả lại ẩn ta có . Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2 Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10. ⟹ Chọn A Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?
Hướng dẫn giải Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m(4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x ⇔ Đặt 2x = t (t > 0). Khi đó . Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0. Đặt Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1 ⟹ Chọn B Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ
Hướng dẫn giải Ta có: Đặt 2x = t (t > 0). Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ (0; +∞) Đặt Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0. ⟹ Chọn A Câu 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 ⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m – 1) log2 x – 2 < 0 (1) Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈ (1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0 (2) Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2 Khi đó cần Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0 Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được ⟹ Chọn C Câu 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:
Hướng dẫn giải Điều kiện: 0 < x ≠ 1. Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016 \= (x3 – x2)2 + (x3 – 1)2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x Do đó bất phương trình đã cho tương đương với Đặt , ta có bất phương trình Đặt . Ta có Dấu bằng xảy ra khi ⟹ Chọn C Câu 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.
Hướng dẫn giải Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ (2x)2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0 Đặt 2x = t (t > 0) Ta có bất phương trình tương đương với Xét trên (0; +∞) Bảng biến thiên Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1. ⟹ Chọn D Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).
Hướng dẫn giải Ta có Đặt log2 x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6) Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t (*) Xét hàm số f(t) = –t2 –t với t ∈ (0; 6) Ta có f’(t) = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ (0; 6) Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (*) đúng với mọi t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0. |
