Bài tập giải tích phức có lời giải năm 2024

các bạn tự tìm sách trên google theo gợi ý bên dưới nhé!

chuong6_biendoilaplace-on class.pdf

chuong_1 số phức và mặt phẳng phức.pdf

chuong_2 hàm biến phức.pdf

chuong_3 các hàm phức cơ bản.pdf

chuong v- ph1_chuoi.pdf

complexanalysis-chuong5-02 thuyết thặng số.pdf

hamphuc-04-tích phân hàm biến phức.pdf

hamphuc-05-thuyết thặng dư.pdf

• 1. PHÂN CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: Lương Lê Hải Hàm biến số phức
• 2. sử hàm 𝑓 𝑧 giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷. Khi đó giá trị 𝒇 𝒛𝟎 tại điểm bất kỳ 𝒛𝟎 ∈ 𝑫 được biểu diễn thông qua công thức tích phân Cauchy: 𝒇 𝒛𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛
• 3. thành hai miền 𝐷1 và 𝐷2 sao cho biên 𝐶𝑟 của 𝐷2 nằm trong 𝐷1. 𝐷2 là một hình tròn 𝑧0, 𝑟 . Khi này miền 𝐷1 nhị liên và 𝐷2 đơn liên. Theo định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có: 𝑰 = 𝝏𝑫𝟏 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝑪𝒓 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
• 4. hiểu như sau: 𝐼 = 𝜕𝐷 = 𝐶𝑟 Nghĩa là tích phân 𝐼 luôn bằng với tích phân dọc theo một đường tròn 𝑧0, 𝑟 bất kể 𝒓 bằng bao nhiêu. Ta sẽ xét một đường tròn có bán kính rất nhỏ vì 𝑓(𝑧) trong miền đó sẽ có giá trị xấp xỉ 𝑓 𝑧0 , nghĩa là 𝑓 𝑧 → 𝑓 𝑧0 khi 𝑧 → 𝑧0: Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
• 5. z z − z0 dz = lim 𝑧→𝑧0 𝐶𝑟 f z0 z − z0 dz = f z0 lim 𝑧→𝑧0 𝐶𝑟 1 z − z0 dz 𝑓 𝑧0 2𝜋𝑖 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
• 6. trong giới hạn vừa rồi có giá trị bằng 𝟐𝛑𝒊, không phụ thuộc 𝒛𝟎. Vậy: 𝐼 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 𝑧0 = 𝜕𝐷 𝑓 𝑧 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑧 Hay 𝑓 𝑧0 = 1 2𝜋𝑖 𝜕𝐷 𝑓(𝑧) 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑧 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
• 7. để tính tích phân 𝑰 = 𝒈 𝒛 𝒅𝒛 với 𝑔 𝑧 có những điểm bất thường 𝒛𝟎 khiến hàm không giải tích tại điểm đó, nếu 𝐈 có thể đưa về dạng 𝒇 𝒛 𝒛−𝒛𝟎 𝒅𝒛 sao cho 𝒇(𝒛) giải tích trong khắp miền cần khảo sát (và liên tục trên biên). ỨNG DỤNG
• 8. THEO CÔNG THỨC CAUCHY Bước 1 Vẽ miền D Bước 2 Tìm các điểm bất thường của hàm ban đầu bằng cách tìm các không điểm của mẫu số, từ đó xác định được điểm z0 thuộc D Bước 3 Tìm hàm f(z) (là phần còn lại của các hàm ban đầu sau khi đã tách z-z0) Bước 4 Thực hiện tính toán, tích phân đã cho 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
• 9. số kiến thức toán thường dùng Phương trình đường tròn tâm a bán kính r là 𝒛 − 𝒂 = 𝒓
• 10. 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒛 𝒅 𝒅𝒛 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 Đạo hàm của hàm Hyperbolic Nhắc lại một số kiến thức toán thường dùng
• 11. tích phân sau trên 𝐶: 𝑧 − 𝑖 = 1 𝑰 = 𝑪 𝒅𝒛 𝒛𝟐 + 𝟏
• 12. = 1 → 𝑧 − 0 + 1𝑖 = 1 Đường tròn tâm 𝐸 0; 1 bán kính 𝑟 = 1 Xét 𝑧2 + 1 = 0 → 𝑧1 = 𝑖 𝑧2 = −𝑖 Ta nhận thấy điểm 𝑧1 = 𝑖 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 − 𝑖 = 1 Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝟏 𝒛+𝟏 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 𝑖 ≤ 1 𝝏𝑫 𝒇 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
• 13. tích phân Cauchy, ta có: 𝐼 = 𝐶 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝐶 𝑑𝑧 (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖) 𝐼 = 𝐶: 𝑓 𝑧 𝑧 − 𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 𝑖 = 𝜋 𝑓 𝑖 = 1 2𝑖 𝑰 = 𝝅
• 14. tích phân trên 𝐶: 𝑧 = 2 𝑱 = 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒊𝒛 𝒛𝟐 + 𝟒𝒛 + 𝟑 𝒅𝒛
• 15. → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 2 Xét 𝑧2 + 4𝑧 + 3 = 0 → 𝑧1 = −1 𝑧2 = −3 Ta nhận thấy chỉ có điểm 𝑧1 = −1 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 = 2 𝐽 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑖𝑧 𝑧2 + 4𝑧 + 3 𝑑𝑧 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑖𝑧 (𝑧 + 1)(𝑧 + 3) 𝑑𝑧
• 16. có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒊𝒛 𝒛+𝟑 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐽 = 𝐶 𝑓 𝑧 𝑧 + 1 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 −1 = 𝜋𝑖 ⋅ cos 1 𝑓 −1 = cosh −𝑖 2 cos(𝑖𝑧) = cosh 𝑧 𝑱 = 𝝅𝒊 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 𝟏
• 17. tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 2 𝑱 = 𝑪 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 𝟐 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟑 𝒅𝒛
• 18. = 2 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝐸 1; 0 bán kính 𝑟 = 2 Xét 𝑧2 + 2𝑧 − 3 = 0 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −3 Ta nhận thấy chỉ có điểm 𝑧1 = 1 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 − 1 = 2 𝐽 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 2 𝑧2 + 2𝑧 − 3 𝑑𝑧 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 2 (𝑧 − 1)(𝑧 + 3) 𝑑𝑧
• 19. có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒛 𝟐 𝒛+𝟑 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐽 = 𝐶 𝑓 𝑧 𝑧 − 1 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 1 = 𝜋 2 𝑖 𝑓 1 = 1 4 𝑱 = 𝝅 𝟐 𝒊
• 20. tích phân sau 𝐶: 𝑧 = 5 𝑨 = 𝑪 𝟐𝒛 − 𝟕𝒊 𝒛𝟐 − 𝒊𝒛 + 𝟐 𝒅𝒛
• 21. → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 5 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 𝑧2 − 𝑖𝑧 + 2 = 0 ∎ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −9 ; Δ < 0 Với công thức nghiệm 𝑧 = −𝑏 ± 𝑖 −Δ 2𝑎 → 𝑧1 = −𝑖 𝑧2 = 2𝑖 Ta nhận thấy điểm 𝑧1 = −𝑖; 𝑧2 = 2𝑖 đều nằm trong đường tròn z = 5. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
• 22. của hai điểm 𝑧1 = −𝑖 và 𝑧2 = 2𝑖 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 = 5. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝟐𝒛−𝟕𝒊 𝒛−𝟐𝒊 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝟐𝒛−𝟕𝒊 𝒛+𝒊 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐴 = 𝐶 2𝑧 − 7𝑖 (𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 2𝑖) 𝑑𝑧 𝐴 = 𝛾1 𝑓1 𝑧1 𝑧 + 𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2 𝑧2 𝑧 − 2𝑖 𝑑𝑧 𝐴1 𝐴2
• 23. 𝑧1 𝑧 + 𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2 𝑧2 𝑧 − 2𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 −𝑖 = 6𝜋𝑖 𝑓1 −𝑖 = 3 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 2𝑖 = −2𝜋𝑖 𝑓2 2𝑖 = −1 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟔𝝅𝒊 − 𝟐𝝅𝒊 = 𝟒𝝅𝒊
• 24. tích phân sau 𝐶: 𝑧 − 3 = 3 𝐾 = 𝐶 sin 𝜋𝑧2 + cos 𝜋𝑧2 𝑧2 − 3𝑧 + 2 𝑑𝑧
• 25. = 3 → 𝑧 − 3 + 0𝑖 = 3 Đường tròn tâm 𝐸 3; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 𝑧2 − 3𝑧 + 2 = 0 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = 2 𝐼 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑧2 𝑧 − 1 𝑧 − 2 𝑑𝑧 Ta thấy điểm 𝑧1 = 1; 𝑧2 = 2 đều nằm trong đường tròn z − 3 = 3. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
• 26. của hai điểm 𝑧1 = 1 và 𝑧2 = 2 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 − 3 = 3. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛𝟐+𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒛𝟐 𝒛−𝟐 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛𝟐+𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒛𝟐 𝒛−𝟏 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 𝐾 = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 1 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 − 2 𝑑𝑧 𝐾1 𝐾2
• 27. 1 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 − 2 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 1 = 2𝜋𝑖 𝑓1 1 = 1 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 2 = 2𝜋𝑖 𝑓2 2 = 1 𝑲 = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐 = 𝟐𝝅𝒊 + 𝟐𝝅𝒊 = 𝟒𝝅𝒊
• 28. THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Giả sử hàm 𝑓(𝑧) giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷. Khi đó, hàm 𝑓(𝑧) có đạo hàm mọi cấp tại điểm 𝒛𝟎 bất kì trong miền 𝐷 và được biểu diễn qua công thức tích phân Cauchy: 𝒇 𝒏 𝒛𝟎 = 𝒏! 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 (𝒏 = 𝟏, 𝟐, … ) Chú ý: Hệ quả công thức tích phân Cauchy được dùng khi mẫu số của hàm số trong dấu tích phân có lũy thừa lớn hơn 1. Với lũy thừa là 1 thì ta dùng công thức tích phân Cauchy bình thường.
• 29. tích phân sau 𝐶: 𝑧 + 2 − 𝑖 = 3 𝑰 = 𝑪 𝒊𝒛𝟑 + 𝒛𝟐 (𝒛 + 𝟏 + 𝒊)𝟐 𝒅𝒛
• 30. − 𝑖 = 3 → 𝑧 − −2 + 𝑖 = 3 Đường tròn tâm E −2; 1 bán kính 𝑟 = 3 𝐼 = 𝐶=𝜕𝐷 𝑓(𝑧) (𝑧 − 𝑧0)𝑛+1 𝑑𝑧 𝐼 = 𝐶 𝑖𝑧3 + 𝑧2 [𝑧 − −1 − 𝑖 ]1+1 𝑑𝑧 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒊𝒛𝟑 + 𝒛𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 + 2 − 𝑖 ≤ 3. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
• 31. 𝑖𝑧3 + 𝑧2 𝑑𝑓 𝑑𝑧 𝑓′ 𝑧 = 3𝑧2𝑖 + 2𝑧 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏! → 𝑓′ −1 − 𝑖 = −8 − 2𝑖 𝐼 = 𝐶 𝑖𝑧3 + 𝑧2 [𝑧 − −1 − 𝑖 ]1+1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓′ −1 − 𝑖 1! 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ −𝟖 − 𝟐𝒊 𝟏! = 𝟒𝝅 − 𝟏𝟔𝝅𝒊
• 32. tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 1 𝐼 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 𝑧2 − 1 2 𝑑𝑧
• 33. = 1 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 1 Đường tròn tâm E 1; 0 bán kính 𝑟 = 1 𝑋é𝑡 z2 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧 + 1) → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −1 𝐼 = 𝐶 sin 𝜋z 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 (𝒛+𝟏)𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
• 34. hàm số 𝑓 𝑧 = sin 𝜋𝑧 𝑧+1 2 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1, nên ta có thể áp dụng công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) khi 𝑛 = 1 𝑰 = 𝑪 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 (𝒛 + 𝟏)𝟐 𝒛 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 𝑓′ 1 = − 𝜋 4 𝐼 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓′ 1 𝑰 = −𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝝅 𝟒 = − 𝝅𝟐 𝟐 𝒊 𝑓 𝑧 = sin 𝜋𝑧 𝑧 + 1 2 𝑓′ 𝑧 = 𝜋 1 + 𝑧 cos 𝜋𝑧 − 2 sin 𝜋𝑧 𝑧 + 1 3 𝑑𝑓 𝑑𝑧
• 35. tích phân C: z = 2 𝐽 = 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧
• 36. 𝟑(𝒛−𝟏) thành các hàm phân thức hữu tỉ tối giản. Sử dụng khai triển trên, ta có: 𝑱 = 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟒 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟐 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒅𝒛 1 𝑧 + 1 3 𝑧 − 1 = 1 8 ∙ 1 𝑧 − 1 − 1 8 ∙ 1 𝑧 + 1 − 1 4 ∙ 1 𝑧 + 1 2 − 1 2 ∙ 1 (𝑧 + 1)3
• 37. đầu tiên được tính bằng công thức tích phân Cauchy: 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 − 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 1 , 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 1 Hai tích phân cuối được tính bằng công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖(cosh 𝑧)′ 𝑧=−1 = −2𝜋𝑖 sinh 1 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 2! (cosh 𝑧)" 𝑧=−1 = 𝜋𝑖 cosh 1 𝑱 = 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟒 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟐 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒅𝒛
• 38. có 𝐽 = 2𝜋𝑖 cosh 1 8 − 2𝜋𝑖 cosh 1 8 + 2𝜋𝑖 sinh 1 4 − 𝜋𝑖 cosh 1 2 = sinh 1 − cosh 1 2 𝜋𝑖 𝑰 = − 𝝅𝒊 𝟐𝒆
• 39. + 1 2 𝑧 − 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là 𝑧 = −1 và 𝑧 = 1. Trong lân cận của hai điểm này vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 hoàn toàn nằm trong hình tròn 𝑧 ≤ 2. Trong miền tam liên được giới hạn bởi 3 đường tròn 𝜸𝟏, 𝜸𝟐 và 𝐂: 𝒛 = 𝟐 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Theo định lý Cauchy đối với miền đa liên, ta có: 𝐽 = 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 CÁCH 2
• 40. + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 𝑱 = 𝜸𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 𝐽1 𝐽2
• 41. + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 = 𝑱𝟏 + 𝑱𝟐 𝐽1 = 𝛾1 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 = 𝛾1 cosh 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 + 1 3 𝑑𝑧 Trong tích phân này hàm 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑧 𝑧−1 giải tích trong miền 𝛾1 nên theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có: 𝐽1 = 2𝜋𝑖 2! cosh 𝑧 𝑧 − 1 ′′ 𝑧=−1 = −𝜋𝑖 2𝑒−1 + cosh 1 4 Xét tích phân đầu tiên
• 42. + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 = 𝑱𝟏 + 𝑱𝟐 𝐽1 = 𝛾2 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 = 𝛾2 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3 𝑧 − 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 𝑧 (𝑧 + 1)3 𝑧=1 = 𝜋𝑖 cosh 1 4 Xét tích phân thứ hai: 𝑱 = −𝝅𝒊 𝟐𝒆−𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝟏 𝟒 + 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝟏 𝟒 = − 𝝅𝒊 𝟐𝒆
• 43. LÍ LIOUVILLE) Nếu hàm 𝑓(𝑧) giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì 𝑓(𝑧) là hàm hằng. Ví dụ: Chứng minh hàm 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 𝑧 không bị chặn. Ta có: 𝑓 0 = 0, 𝑓 𝜋 2 = 1 nên 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑧 không là hàm hằng. Vậy 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 𝑧 không bị chặn.
• 44.
• 45.
• 46. Điều kiện của 𝒇 𝒛 để sử dụng công thức tích phân Cauchy là gì? Hàm 𝑓 𝑧 giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷 Bạn được 3 điểm
• 47. Tính tích phân: 𝑰 = 𝑪: 𝒛+𝟐−𝟐𝒊 =𝟑 𝒊𝒛𝟑 + 𝟐 𝒛 + 𝟏 − 𝟑𝒊 𝒅𝒛 A. = −𝟓𝟐𝝅 + 𝟒𝟎𝝅𝒊 Bạn được 5 điểm B. = −𝟓𝟐𝝅 − 𝟒𝟎𝝅𝒊 C. = 𝟓𝟐𝝅 − 𝟒𝟎𝝅𝒊
• 48. Công thức tích phân Cauchy? 𝒇 𝒛𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 Bạn được 2 điểm
• 49. Tính tích phân 𝐾 = 𝑧 =2 sin 𝑖𝑧 𝑧2 − 4𝑧 + 3 𝑑𝑧 A. −𝝅 𝒆 − 𝒆−𝟏 Bạn được 8 điểm B. −𝝅𝒆 C. 𝝅(𝒆 − 𝒆−𝟏 )
• 50. Tính tích phân: 𝑰 = 𝑪: 𝒛+𝟑𝒊 =𝟐 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 + 𝟐𝒊 𝟐(𝒛 − 𝟏) 𝒅𝒛 Bạn được 10 điểm 𝑰 = 𝑪 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 + 𝟐𝒊 𝟐 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 𝑪 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 − 𝟏 𝒛 − (−𝟐𝒊) 𝟏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 𝒇′ 𝒛𝟎 = − 𝟔𝝅 𝟐𝟓 + 𝟒𝟐𝝅 𝟐𝟓 𝒊
• 51.
• 52. tích phân 𝐶: 𝑧 = 5 𝑩 = 𝑪 𝟏 𝒛𝟐 + 𝟏𝟔 𝒅𝒛
• 53. → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 5 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 z2 + 16 = 0 → 𝑧1 = 4i 𝑧2 = −4i 𝐵 = 𝐶 1 (z − 4i)(z + 4i) 𝑑𝑧 Ta thấy điểm 𝑧1 = 4i; 𝑧2 = −4i đều nằm trong đường tròn z = 5. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
• 54. của hai điểm 𝑧1 = 4𝑖 và 𝑧2 = −4𝑖 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 = 5. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝟏 𝒛+𝟒𝒊 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝟏 𝒛−𝟒𝒊 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐵 = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 4𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 + 4𝑖 𝑑𝑧 𝐵1 𝐵2
• 55. 4i 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 + 4i 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 4i = 𝜋 4 𝑓1 4i = 1 8i 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 −4i = − 𝜋 4 𝑓2 −4i = − 1 8i 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = 𝝅 𝟒 − 𝝅 𝟒 = 𝟎 𝝏𝑫 𝒇 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
• 56. tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 1/2 𝑰 = 𝑪 𝒆𝒊𝒛 𝒛𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒛
• 57. = 1/2 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 1/2 Đường tròn tâm 𝐸 1; 0 bán kính 𝑟 = 1/2 𝑋é𝑡 𝑧2 − 1 2 = 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝐼 = 𝐶 𝑒𝑖𝑧 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −1 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒆𝒊𝒛 𝒛+𝟏 𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
• 58. 𝑧 = 𝑒𝑖𝑧 𝑧+1 2 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1 𝐼 = 𝐶 𝑒𝑖𝑧 𝑧 + 1 2 𝑧 − 1 2 𝑑𝑧 𝑓′ 𝑧 = 𝑖𝑒𝑖𝑧[𝑧 + 1 + 2𝑖 ] 𝑧 + 1 3 𝑓′ 1 = 𝑒𝑖 − 1 4 + 𝑖 4 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇′ 𝟏 = − 𝟏 𝟐 − 𝒊 𝟐 𝝅𝒆𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!
• 59. tích phân 𝐶: 𝑧 = 2 𝑲 = 𝑪 𝒛𝟒 𝒛 − 𝒊 𝟑 𝒅𝒛
• 60. → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 2 𝑋é𝑡 𝑧 − 𝑖 3 = 0 → 𝑧0 = 𝑖 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟒 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 2 𝐾 = 𝐶 𝑧4 𝑧 − 𝑖 3 𝑑𝑧
• 61. 𝑖 3 𝑑𝑧 𝑓′′ 𝑧 = 12𝑧2 𝑓′′ 𝑖 = −12 𝑲 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇′′ 𝒊 𝟐! = −𝟏𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!
• 62. Tính tích phân 𝐶: 𝑧 = 1 𝑳 = 𝑪 𝒆𝟐𝒛 𝒛𝟒 𝒅𝒛
• 63. → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 1 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 1 𝑋é𝑡 𝑧4 = 0 → 𝑧0 = 0 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒆𝟐𝒛 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 1. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 3 𝐿 = 𝐶 𝑒2𝑧 𝑧4 𝑑𝑧
• 64. = 𝐶 𝑒2𝑧 𝑧4 𝑑𝑧 𝑓(3) 0 = 8 𝑳 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝟑 𝟎 𝟑! = 𝟖 𝟑 𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!