Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm

A- ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng:

• Phiếu hướng dẫn tự học Toán lớp 8 từ 30/3 tới 4/4
• Chuyên đề tam giác đồng dạng – Toán lớp 8
• Đề cương ôn tập HK1 môn Toán 8 THCS Mai Dịch 2019-2020
• Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x – Toán lớp 8
• Đề cương ôn tập hè Toán lớp 8

– Đặt nhân tử chung.

– Dùng hằng đẳng thức.

– Nhóm nhiều hạng tử.

– Tách [hoặc thêm bớt] hạng tử.

– Phương pháp đổi biến [Đặt ẩn phụ].

– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.

II- BÀI TẬP

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. 36 – 12x + x2

b/. xy + xz + 3y + 3z

c/. x2 – 16 – 4xy + 4y2

d/. x2 – 5x – 14 [ĐS: 7; 2]

Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử.

Ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x như sau:

+ Bước 1: Tìm tích ac.

+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b $ \Rightarrow $ Hai thừa số đó chính là b1; b2 .

Ví dụ: ở câu d, trên b1 = 2; b2 = -7

x2 – 5x – 14 = x2 + 2x – 7x – 14 = x[x +2] – 7[x + 2] = [x + 2] [x – 7]

áp dụng:

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. x2 + 2x – 15 [ĐS: 3; -5]

b/. 3x2 – 5x – 2 [ĐS: 1/3; 2]

c/. 2x2 – 6x + 4 [ĐS: 4; 2]

d/. x2 – x – 2004. 2005 [ĐS: 2004; 2005]

e/. 5x2 + 6xy + y2 [ĐS: 3y; 2y]

* Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F[x] thành nhân tử.

Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F[x] không [a là một trong các ước của hạng tử tự do].

Bước 2: Nếu F[a] = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:

F[x] = [x – a] P[x]

Để tìm P[x] ta thực hiện phép chia F[x] cho x – a .

Bước 3: Tiếp tục phân tích P[x] thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F[x] = x3 – x2 – 4

Giải:

Ta thấy 2 là nghiệm của F[x] vì F[2] = 0

Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F[x] $ \vdots $ x – 2

Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương khi chia F[x] cho x – 2

Vậy F[x] = [x – 2][x2 + x + 2]

Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x3 – 5x2 + 3x + 9

[ĐS: [x + 1][x – 3]2 ]

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

a/. [n + 2]2 – [n – 2]2 chia hết cho 8

b/. n2[n + 1] + 2n[n + 1] chia hết cho 6.

Bài 6 [khuyến khích] Dùng pp thêm bớt để phân tích:

a/. x7 + x5 + 1 = x7 + x6 –x6 + x5 +1 = … = [x2 + x + 1][x5 +x4 – x3 – 1] = …=

= [x + 1]2[x – 1][x3 + x2 + x – 1]

b/. x11 + x + 1 = x11 – x2 + x2 + x + 1 = x2[x9 – 1] + [x2 + x + 1]

= [x2 + x + 1][ x9 – x8 + x6 – x5 + x3 – x2 + 1]

B- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN

I – Chứng minh quan hệ chia hết

Bài 1: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N

Giải:

Phân tích thành nhân tử A = n[n3 + 6n2 +11n + 6]

Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n3 + 6n2 +11n + 6 thành nhân tử

A = n[n + 1][ n2 +5n + 6]

= n[n + 1][n + 2][n+ 3]

Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;

n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 8

Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A$ \vdots $ 3

Mà ƯCLN[3; 8] = 1 nên A $ \vdots $ 3.8 hay A$ \vdots $ 24 .

Bài 2: Chứng minh rằng: A = 2222 + 5555 $ \vdots $ 7

Giải:

Cách 1: A = [2222 – 122] + [5555 + 155]

= [22 – 1][2221 + 2220 + … + 1 ][55 + 1][5554 – 5553 + … + 1]$ $

M N

= 21M + 56 N

Mà 21M $ \vdots $ 7 ; 56N $ \vdots $ 7 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 7

Cách 2: Dùng đồng dư:

Ta đã biết : $ \left. \begin{array}{l}56\equiv 0[\bmod 7]\\1\equiv 1[\bmod 7]\end{array} \right\}\Rightarrow 55\equiv -1[\bmod 7]$

Mặt khác $ \left. \begin{array}{l}22\equiv 1[\bmod 7]\\55\equiv -1[\bmod 7]\end{array} \right\}\Rightarrow {{22}^{{22}}}+{{55}^{{55}}}\equiv 0[\bmod 7]$

Hay 2222 + 5555 $ \vdots $ 7

Bài 3: Chứng minh rằng A = a3 + b3 + c3 – 3abc chia hết cho a + b + c

Giải:

áp dụng hằng đẳng thức: [a + b]3 = a3 + b3 + 3ab[a + b]

⇒ a3 + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b]. Thay biểu thức này vào A ta được :

A = [a + b]3 – 3ab[a + b] + c3 – 3abc

= [ [ a + b]3 + c3 ] – 3ab[a + b + c]

= [a + b + c] [ [a + b]2 – [a + b]c + c2– 3ab]

= [a + b + c][a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca]

Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c ⇒ A chia hết cho a + b + c

II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức

Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:

A = $ \frac{{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x+24}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-10x-8}}$

Giải:

*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:

x3 – x2 – 10x – 8 = [x + 1][x + 2][x – 4]

Vậy ĐKXĐ: x $ \ne $ – 1; x $ \ne $ – 2; x $ \ne $ 4

*Phân tích thành nhân tử:

x3 – 5x2 – 2x + 24 = [x + 2][x – 3][x – 4]

Rút gọn A = $ \frac{{[x+2][x-3][x-4]}}{{[x+2][x+1][x-4]}}=\frac{{x-3}}{{x+1}}$

Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:

A = $ \frac{{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$

Giải:

B = $ \frac{{{{x}^{2}}[x-3]-[x-3]}}{{{{x}^{2}}[x-1]}}$ = $ \frac{{[x-3][x-1][x+1]}}{{{{x}^{2}}[x-1]}}$

ĐKXĐ: x$ \ne $ 1

Rút gọn: B = $ \frac{{[x-3][x+1]}}{{{{x}^{2}}}}$

Bài 6: Chứng minh A = n3 + 6n2 + 8n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N chẵn.

Giải:

A = n[n + 2][n + 4]

Thay n=2k $ \vdots $ A=8k [k+1][k+2]

Mà k[k+1][k+2] là 3 số tự nhiên liên tiếp⇒$ \vdots $ 3

ƯCLN [8,3] = 1⇒ A$ \vdots $ 24

Bài 7: cho a+b+c = 0 chứng minh a3 +b3+c3 = 3abc

Giải:

Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0

⇒ a3 +b3+c3 – 3abc = 0

⇒ a3 +b3+c3 = 3abc

Bài 8: Rút gọn các phân thức:

a/. $ \frac{{{{{\left[ {2x+3} \right]}}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-1}}$

[ĐS: $ \frac{{3\left[ {x+3} \right]}}{{x-1}}$ ]

b/. $ \frac{{{{{\left[ {3x+2} \right]}}^{2}}-{{{[x+2]}}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$

[ĐS : $ \frac{{8\left[ {x+1} \right]}}{{x[x-1]}}$ ]

III – Giải phương trình, bất phương trình

Bài 9: [Bài 1 – đề thi cấp 3 năm 2007]

1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1

2/. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0

Bài 10: Giải phương trình: [x2 – 1][x2 + 4x + 3] = 192

Giải:

Biến đổi phương trình đã cho được: [x – 1][x + 1]2[x + 3] = 192

⇔[x + 1]2[x – 1] [x + 3] = 192

⇔ [x2 + 2x + 1][x2 + 2x – 3] = 192

Đặt x2 + 2x – 1 = y

Phương trình đã cho thành: [y + 2] [y – 2] = 192 ⇒ y = ± 14

Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5

Với y = – 14 giải ra vô nghiệm.

Vậy S = {3;-5}

Bài 11: Giải bất phương trình sau: x2 – 2x – 8 < 0

Giải:

Biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình tích:

x2 – 2x – 8 < 0 ⇔ x2 – 4x + 2x – 8 < 0 ⇔ [x – 2][x + 2] < 0

Lập bảng xét dấu:

Vậy nghiệm của bất phương trình là: – 2 < x < 4 .

Bài tập về nhà: Làm bài 80 – 88[42, 43] ÔTĐ8.

Tài liệu Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

+ Giả sử đa thức có nghiệm là x = a.

Ta dùng phương pháp thêm [ bớt] , tách hạng tử và nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung là x – a.

+ Chú ý:

            • A.B + A.C = A.[B + C]

            • Đa thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm là x1; x2.

Khi đó: ax2 + bx + c = a.[x = x1].[x - x2]

Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x2 + bx + c thành nhân tử?

A. 3[x+ 1]. [x – 9]

B. 3[x + 1]. [x – 3]

C. 3[x – 1].[x + 9]

D. 3[x – 1]. [x+ 3]

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích như sau:

3x2 + 6x - 9 = [3x2 - 3] + [6x - 6]

= 3[x + 1].[x - 1] + 6[x - 1]

= 3[x - 1].[[x + 1] + 2] = 3[x - 1].[x + 3]

Chọn D.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức [x2 + x]2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử?

A. [x - 1].[x2 + x + 2]

B. [x + 1].[x2 - x + 2]

C. [1 - x].[x2 + x - 2]

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 làm nghiệm. Do đó, ta sẽ nhóm thích hợp để xuất hiện nhân tử chung x – 1 như sau:

+ x3 + x - 2 = [x3 - 1] + [x - 1]

= [x - 1].[x2 + x + 1] + 1.[x - 1]

= [x - 1].[x2 + x + 1 + 1] = [x - 1].[x2 + x + 2]

Chọn A.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức x4 - 3x3 + x2 - 5 thành nhân tử?

A. [x - 1].[x3 + 4x2 + 5x - 5]

B. [x + 1].[x3 - 4x2 + 5x - 5]

C. [x + 1].[x3 - 4x2 - 5x + 5]

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhân x = -1 là nghiệm.

Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x + 1 là nhân tử chung như sau:

+ Ta có:

x4 - 3x3 + x2 - 5 = [x4 + 2x3 + x2] - [5x3 + 5]

= x2.[x2 + 2x + 1]-5[x3 + 1]

= x2.[x + 1]2 - 5[x + 1].[x2 - x + 1]

= [x + 1].[x2.[x + 1] - 5[x2 - x + 1]]

= [x + 1].[x3 + x2 - 5x2 + 5x - 5]

= [x + 1].[x3 - 4x2 + 5x - 5]

Chọn B.

Ví dụ 4. Phân tích đa thức -7x2 + 12x + 4 thành nhân tử

A. [ 2x + 2]. [-7x -1]

B. [ - 7x + 3].[x+ 2]

C.[ x- 2].[- 7x + 2]

D. [ - 7x – 2]. [x- 2]

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 là nghiệm. Chúng ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x – 2 như sau:

-7x2 + 12x + 4 = -7x2 + 14x - 2x + 4

= -7x.[x - 2] - 2[x - 2]

= [-7x - 2].[x - 2]

Chọn D.

Câu 1. Phân tích đa thức -8x2 + 24x - 16 thành nhân tử?

A. [ - 8x + 16]. [x- 1]

B. [ 8x – 1].[ x + 16]

C. [ 4x – 1]. [- 2x + 16]

D. [ 2x – 2].[- 4x + 8]

Câu 2. Phân tích đa thức [x + 1].[x + 2].[x + 3].[x + 4] + 1thành nhân tử?

A. [x- 2]. [ 20x – 3]

B. [ x- 2].[ 20x + 30].

C. [x+ 2]. [ 20x + 3]

D. [2x + 4]. [10x – 15]

Câu 3. Phân tích đa thức -8x3 + 10x2 + 4x - 6 thành nhân tử?

A. [x + 1]2.[8x - 6]

B. [1 - x]2.[-8x + 6]

C. [x - 1]2.[-8x - 6]

D. Đáp án khác

Câu 4. Phân tích đa thức -x5 + 8x2 + 2x + 9 thành nhân tử

A. [1 - x].[-x4 - x3 - x2 + 7x + 9]

B. [x + 1].[-x4 - x3 + x2 + 7x + 9]

C. [1 - x].[-x4 - x3 - x2 - 7x + 9]

D. [x - 1].[-x4 - x3 - x2 + 7x + 9]

Câu 5. Phân tích đa thức 4x4 + x3 - 4x - 1 thành nhân tử

A. [4x + 1].[x - 1].[x2 + x + 1]

B. [2x + 2].[x - 1].[x2 + x - 1]

C. [4x - 1].[x + 1].[x2 + x + 1]

D. Đáp án khác

Câu 6. Phân tích đa thức 6x3 - 4x2 - 3x + 7 thành nhân tử

A. [x + 1].[6x2 + 8x + 7]

B. [x - 1].[6x2 + 9x + 7]

C. [x + 1].[6x2 - 10x + 7]

D. Đáp án khác

Câu 7. Phân tích đa thức -x3 + 2x2 + 9x - 18 thành nhân tử

A. [3+ x]. [3- x]. [ 4- x]

B. [3 + x]. [3- x]. [x- 2]

C. [x + 2]. [ x- 2]. [ 6 -x]

D. [2 – x]. [ x +1]. [ x – 9]

Câu 8. Phân tích đa thức -10x2 + 5x + 75 thành nhân tử

A.[ -10x – 25]. [x – 3]

B. [5x + 5].[-2x + 15]

C.[ - 5x + 15].[ 2x + 6]

D. [ -10x + 20].[ x + 3]

Câu 9. Phân tích đa thức 17x2 - 13x - 94 thành nhân tử

A. [x+ 2]. [ 17x – 47]

B. [x + 5]. [ 17x – 2]

C. [17x – 1].[x + 94]

D. Đáp án khác

Câu 10. Phân tích đa thức -2x3 + 8x - 30 thành nhân tử

A. [x + 3]. [- x + 1].[2x + 10]

B. [x + 3].[-2x2 + 6x - 10]

C. [x+ 3]. [ 2x + 2]. [x – 5]

D. [-x + 3].[2x2 - 6x - 10]