Bạn sẽ sử dụng phần trăm nào cho khoảng tin cậy bootstrap 95%?

4. 4. 3 Phương pháp Bootstrap-t

Phương thức thay thế chính cho bootstrap phần trăm là phương thức bootstrap-t, cũng đã được . Ví dụ: khi làm việc với các phương tiện, chiến lược là sử dụng dữ liệu được quan sát để tính gần đúng mức phân phối của

T=n[X¯−μ]s

bằng cách tiến hành như sau

Tạo mẫu bootstrap X1⁎,…,Xn⁎ .

Tính toán X¯⁎ , s⁎ và . T⁎=n[X¯⁎−X¯]/s⁎based on the bootstrap sample generated in step 1.

Lặp lại bước 1 và 2 B lần, cho kết quả Tb⁎ , b=1,…, . .

Các giá trị Tb⁎ cung cấp ước tính gần đúng về phân phối của T và cụ thể là ước tính của α/2and 1−α/2quantiles.

Khi thử nghiệm H0 . μ=μ0 , có hai biến thể của phương thức bootstrap-t cần nhận xét. Đầu tiên là phương pháp đuôi bằng nhau. Đặt T[1]⁎≤⋯≤T[B]⁎ là Tb⁎values written in ascending order, let ℓ=αB/2, rounded to the nearest integer, and let u=B−ℓ. Then H0 bị từ chối nếu

T≤T[ℓ]⁎hoặcT≥T[u]⁎

Sắp xếp lại các số hạng, a 1−α khoảng tin cậy cho μ là

[4. 8][X¯−T[u]⁎sn,X¯−T[ℓ]⁎sn].

Phương trình cuối cùng này có vẻ không chính xác vì T[u]⁎ , ước tính của 1−α/2quantile of the distribution of T, is used to compute the lower end of the confidence interval. Simultaneously, T[ℓ]⁎ , ước tính của α/2quantile, is used to compute the upper end of the confidence interval. It can be seen, however, that this last equation follows from the decision rule that rejects H0 . μ=μ0 if T≤T[ℓ]⁎ or T≥T[u]⁎. Also, when computing the upper end of the confidence interval, T[ℓ]⁎ sẽ âm, đó là lý do tại sao thuật ngữ T[ℓ]⁎snis subtracted from X¯.

Biến thể thứ hai của phương pháp bootstrap-t, mang lại khoảng tin cậy đối xứng, sử dụng

T⁎=n. X¯⁎−X¯. S⁎

Let c=[1−α]B , được làm tròn thành số nguyên gần nhất. Bây giờ 1−α khoảng tin cậy cho μ là

X¯±T[c]⁎sn

Kết quả tiệm cận [ Hội trường , 1988a , 1988b] suggest that it tends to have more accurate probability coverage than the equal-tailed confidence interval, but some small-sample exceptions are noted later.

Một thuộc tính lý thuyết thú vị của phương pháp bootstrap-t là nó đúng bậc hai. Đại khái, khi sử dụng T, khi kích thước mẫu tăng lên, sự khác biệt giữa phạm vi xác suất thực tế và mức danh nghĩa sẽ tiến về 0 với tỷ lệ 1/n . Nhưng khi sử dụng phương pháp bootstrap-t, sự chênh lệch về 0 ở tỷ lệ 1/n . Nghĩa là, sự khác biệt tiến về 0 nhanh hơn so với các phương pháp dựa trên định lý giới hạn trung tâm.

Một lần nữa, có một vấn đề thực tế là chọn B, số lượng mẫu bootstrap. Các lựa chọn mặc định cho B được sử dụng bởi các chức năng R trong cuốn sách này dựa trên mục tiêu đạt được sự kiểm soát hợp lý tốt đối với xác suất xảy ra lỗi Loại I. Nhưng các lập luận có thể được đưa ra rằng có lẽ giá trị lớn hơn cho B có giá trị thực tế, mối quan tâm là nếu không thì có thể mất điện. Racine và MacKinnon [2007a] thảo luận chi tiết về vấn đề này và đề xuất phương pháp chọn số lượng mẫu bootstrap. [Cũng xem Jöckel, 1986 . ] Davidson và MacKinnon [2000] đề xuất quy trình thử nghiệm trước để chọn B. Kết quả lý thuyết do Olive [2010] đề xuất sử dụng B≥nlog[n].

Phương pháp dựa trên công cụ ước tính mạnh mẽ

Trước tiên, hãy xem xét mục tiêu tính toán khoảng tin cậy cho sự khác biệt giữa các độ dốc. Khi sử dụng bất kỳ công cụ ước tính mạnh nào có điểm phân tích cao hợp lý, kỹ thuật bootstrap phần trăm dường như đưa ra khoảng tin cậy chính xác hợp lý cho một phạm vi khá rộng của các giá trị không bình thường . Điều này gợi ý một phương pháp để giải quyết các mục tiêu được xem xét ở đây và các mô phỏng hỗ trợ việc sử dụng chúng. Tóm lại, quy trình bắt đầu bằng cách tạo mẫu bootstrap từ nhóm thứ j như được mô tả, ví dụ: trong Phần 11. 1. 1 . Nghĩa là, đối với nhóm thứ j, lấy mẫu ngẫu nhiên nj vector quan sát, với sự thay thế, từ [y1j,x1j . Đặt . Let dk⁎=βˆk1⁎−βˆk2⁎ là sự khác biệt giữa các ước tính kết quả của biến độc lập thứ k, k . Lặp lại quá trình này B lần, thu được . Repeat this process B times, yielding dk1⁎,…,dkB⁎ . Đối với mỗi k, hãy đặt các giá trị B này theo thứ tự tăng dần, thu được dk[1]⁎≤⋯≤dk[B]⁎ . Cho ℓ=αB/2 , u=[1−α/2]B, rounded to the nearest integer, in which case an approximate 1−αconfidence interval for βk1−βk2is [dk[ℓ+1]⁎,dk[u]⁎].

Để cung cấp một số dấu hiệu cho thấy phương thức hoạt động tốt như thế nào khi tính toán 0. khoảng tin cậy 95, Bảng 11. 5 và 11. 6 hiển thị αˆ , ước tính của một trừ đi phạm vi xác suất, khi . Trong các bảng này, VP đề cập đến ba loại điều khoản lỗi. , p=1, and M regression with Schweppe weights is used. In these tables, VP refers to three types of error terms: λ[x]=1 , λ[x]=x2 , . x. +1] λ[x]=1+2/[|x|+1] . Để thuận tiện, ba mẫu phương sai này được dán nhãn lần lượt là VP 1, VP 2 và VP 3. Tình huống VP 2 tương ứng với phương sai sai số lớn khi giá trị của x nằm ở đuôi phân phối của nó và VP 3 thì ngược lại. Ba điều kiện bổ sung cũng được xem xét. Đầu tiên, được gọi là C1, là nơi xi1 và xi2 , cũng như . Điều kiện thứ hai, C2, giống với điều kiện thứ nhất, chỉ có điều ϵi1and ϵi2, have identical distributions. The second condition, C2, is the same as the first condition, only ϵi2=4ϵi1 . Điều kiện thứ ba, C3, là nơi dành cho nhóm đầu tiên, cả xi1 và ϵi1have standard normal distributions, but for the second group, both xi2and ϵi2have a g-and-h distribution.

Bảng 11. 5 . Giá trị của αˆ , sử dụng phương pháp trong Mục 11. 2. 1 khi x có phân phối đối xứng, n=20.

xϵĐiều kiệnghghVPC1C2C30. 00. 00. 00. 010. 0290. 0400. 04020. 0420. 0450. 04530. 0280. 0390. 0390. 00. 00. 00. 510. 0290. 0360. 03620. 0450. 0390. 03930. 0250. 0370. 0370. 00. 00. 50. 010. 0260. 0400. 04120. 0430. 0430. 04330. 0290. 0400. 0400. 00. 00. 50. 510. 0280. 0360. 03620. 0420. 0400. 04030. 0230. 0370. 0370. 00. 50. 00. 010. 0240. 0350. 04020. 0510. 0580. 04630. 0140. 0230. 0390. 00. 50. 00. 510. 0230. 0350. 03620. 0490. 0540. 03930. 0130. 0200. 0370. 00. 50. 50. 010. 0220. 0390. 04020. 0500. 0390. 04330. 0140. 0220. 0400. 00. 50. 50. 510. 0240. 0370. 03620. 0520. 0580. 04030. 0130. 0200. 037

Bảng 11. 6 . Các giá trị của αˆ , x có phân phối lệch, n=20.

xϵĐiều kiệnghghVPC1C2C30. 50. 00. 00. 010. 0260. 0400. 04020. 0440. 0480. 04630. 0320. 0370. 0390. 50. 00. 00. 510. 0280. 0390. 03620. 0410. 0470. 03930. 0300. 0310. 0370. 50. 00. 50. 010. 0250. 0400. 04020. 0460. 0520. 04030. 0320. 0380. 0430. 50. 00. 50. 510. 0240. 0380. 03620. 0410. 0450. 04030. 0310. 0340. 0370. 50. 50. 00. 010. 0180. 0320. 04020. 0490. 0500. 04630. 0190. 0200. 0390. 50. 50. 00. 510. 0190. 0310. 03620. 0450. 0490. 03930. 0150. 0180. 0370. 50. 50. 50. 010. 0190. 0310. 04020. 0500. 0500. 04330. 0140. 0200. 0400. 50. 50. 50. 510. 0220. 0270. 03620. 0460. 0510. 04030. 0160. 0190. 037

Lưu ý rằng αˆ không bao giờ vượt quá 0. 06, và nói chung, nó nhỏ hơn 0. 05. Tuy nhiên, vẫn có chỗ để cải thiện vì trong một số trường hợp, αˆ giảm xuống dưới 0. 020. Điều này xảy ra khi ϵ có phân phối đuôi nặng, như dự kiến ​​dựa trên kết quả trong Chương 4 và 5 . Ngoài ra, VP 3, tương ứng với phương sai sai số lớn khi x ở gần tâm phân bố của nó, đóng vai trò. Mặc dù vậy, tất cả các dấu hiệu cho thấy, xét về phạm vi xác suất, phương pháp bootstrap kết hợp với . Also, VP 3, which corresponds to large error variances when x is near the center of its distribution, plays a role. Despite this, all indications are that, in terms of probability coverage, the bootstrap method in conjunction with βˆm [M hồi quy với trọng số Schweppe] hoạt động khá tốt trên . Có vẻ như khi sử dụng các công cụ ước tính mạnh khác, chẳng hạn như Theil–Sen, độ bao phủ xác suất lớn hơn hoặc bằng mức danh nghĩa lại thu được. Với n=30 , có những trường hợp phạm vi xác suất thực tế có thể cao tới 0. 975 khi tính 0. khoảng tin cậy 95. Tức là khi kiểm định giả thuyết hệ số góc bằng nhau, mức thực tế có thể thấp bằng 0. 025 khi kiểm tra ở 0. 05 cấp độ [cf. Luh và Guo, 2000 ].

Đối với việc kiểm tra giả thuyết tổng thể được đưa ra bởi Eq. [11. 12] , một sửa đổi của thống kê kiểm tra F, được đưa ra bởi phương trình. [11. 13] có thể được sử dụng. Chỉ cần thay thế công cụ ước tính HC4 bằng ước tính bootstrap về phương sai và hiệp phương sai giữa các công cụ ước tính đang được sử dụng. Chính xác hơn, đối với nhóm thứ j, hãy tạo mẫu bootstrap bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên bằng cách thay thế nj các vectơ quan sát từ [ . Dựa trên mẫu bootstrap này, biểu thị giao điểm ước tính và độ dốc bằng , yielding [yij⁎,xij1⁎,…,xijp⁎][i=1,…,nj]. Based on this bootstrap sample, denote the estimated intercept and slopes by [b0j⁎,…,bpj⁎] . Lặp lại quá trình này B lần, thu được kết quả [b0jb⁎,…,bpjb⁎] [ b=1,…, . Sử dụng ]. Using B=100 dường như là đủ. Sau đó, hiệp phương sai giữa bkj⁎ và bℓj⁎ được ước tính với