Có bao nhiêu cặp số nguyên dương xy thỏa mãn 1 x 10

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: ({4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48).

Vì (x,,,y in {mathbb{N}^*},,,x < y) nên ta thử các TH sau:

+ Với (x = 1,,,y = 2) ta có: (4 + 32 = 64 - 16 + 48 Leftrightarrow 36 = 96) (Vô lí).

( Rightarrow x ge 2 Rightarrow VT = {4^x} + 32x ge 80,,left( 1 right)).

Xét hàm số (fleft( y right) = 32y - {4^y} + 48) ta có (f'left( y right) = 32 - {4^y}ln 4 = 0 Leftrightarrow y = {log _4}dfrac{{32}}{{ln 4}}).

BBT:

Vì (y in {mathbb{N}^*}) nên (fleft( y right) = 32y - {4^y} + 48 in {mathbb{N}^*}), dựa vào BBT ( Rightarrow fleft( y right) le 97,,left( 2 right)).

Từ (1) và (2)

(begin{array}{l} Rightarrow 80 le fleft( y right) le 97 Rightarrow 80 le VP le 97 Rightarrow 80 le VT le 97\ Rightarrow 80 le {4^x} + 32x le 97,,left( * right)end{array}).

Hàm số (gleft( x right) = {4^x} + 32x) đồng biến trên (mathbb{R}), do đó từ (*) ta suy ra (x = 2).

Với (x = 2) ta có (80 = 32y - {4^y} + 48 Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32), sử dụng MODE7 ta tìm được (y = 3).

Vậy có 1 cặp số (left( {x;y} right)) thỏa mãn là (left( {x;y} right) = left( {2;3} right)).()

Chọn D.