§5. DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG A. Tóm tắt kiến thức - Diện tích xung quanh cua hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhãn với chiều cao. là nứa chu vi đáy, h là chiều cao]. - Diện tích toàn phần cua lãng trụ dứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai dáy. B. Ví dụ giải toán Ví dụ Lăng trụ đứng ABCD.A'B’C'D' có đáy ABCD là một hình thang [AB // CD]. Cho biết AB = lOcm : BC = 13cm ; CD = 15cm ; AD = 12cm và AA' = 20cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ dứng ; Tính diện tích toàn phần của lăng trụ dứng. Giải: Chu vi đáy cua hình lãng trụ là : 2p= 10+ 13 + 15 + 12 = 50 [em]. Diện tích xung quanh cùa hình lăng trụ là : SXI| = 2p.h = 50.20 = 1000 [em2]. Trong mật phẳng ABCD ta vẽ BH // AD. Ta có BI 1 = 12 ; DH = 10 và HC = 5. .c Xét ABHC có BC2 = BH2 + HC2 [132 = 122 + 52 = 169]. Vậy \BHC vuông tại H. Diện tích đáy ABCD là : . ' [10+15]. 12 ,1CMí T —7- = l50[cm ]. 2 Diện tích toàn phần cùa lăng trụ đứng là : s,p = 1000+ .150.2= 1300 [cm2]. Nhận xét : Khi giái toán hình học không gian ta có thê đưa một bộ phận về giai toán trong hình học phảng. Trong một mặt phảng ta có thể vẽ song song, vẽ vuông góc và tính toán theo các định lí đã học trong hình học phảng. c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoq Bài 23. Giiii: a] Xét lãng trụ đứng tứ giác : Sxq = [3 + 4].2.5 = 70 [cm2]. . Slp = 70 + 3.4.2 = 94 [cm2]. b] Xót hình lãng trụ đứng tam giác : BC = ự22 +32 = VĨ3 [cm]. Sxq =[2 + 3 +VĨ3].5 = 25 + 5 VĨ3 [cm2] s = 25 + 5713+4^.2 = 31 + 5\Zh3 [cm2]. ip ọ x 7 Bài 24. T ni lời: a [cm] 5 3 12 7 b [cm] 6 2 15 8 c [cm] 7 4 13 6 h [cm] 10 5 2 3 Chu vi đáy [cm] 18 9 40 21 sxq [cm2] 180 45 80 63 Bài 25. Giới: Vẽ thêm nét khuất : Xem hình hên. AC // A'C. Diện tích miếng bìa dùng làm tấm lịch chính là diện tích xung quanh của hình lãng trụ đứng : sxq =[8+15+ 15].22 = 836 [cm2]. Bài 26. Hướng linn Gấp được thành một lăng trụ dứng tam giác như hình bên. Trong 5 câu phát biếu thì : câu 1. Đúng ; câu 2. Đúng ; câu 3. Sai ; cáu 4. Đúng ; càu 5. Sai. Nhận xét : Chúng'ta chưa học về hai đường thang vuông góc trong không gian. Hai đường thẳng DE và BC không thuộc cùng một mặt phang, chúng sẽ vuông góc nếu có thêm điều kiện BC T BA, nhung điều này vượt ra ngoài chương trình. D. Bài tạp luyện thêm Một lăng trụ dứng có đáy là hình thoi, độ dài hai dường chéo của hình thoi là 6cin và 8cm. Biết cạnh bôn cùa lăng trụ dứng bằng cạnh đáy. Tính diện tích toàn phần cua lăng trụ dó. Một cái chặn giấy bằng thủy tinh hình lãng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Biêt AB = 8cm ; AC = 15cm ; BC = 17cm. Biết diện tích toàn phần là 520cm, tính dộ dài của mỗi cạnh bẽn. Cho lăng trụ đúng ABCD.A'B'C'D’ có đáy là một hình thang cân [AB //CD], ÀB = 6cm ; CD = 12cm. Biết diện tích xung quanh là 280cm2, chiều cao cua lăng trụ đúng là lOcm. Tính diện tích toàn phàn. Hướng [lán - f]áp sò Gọi o là giao diem cua AC và BD. Ta có AC ± BD và oc = 3cm ; OB = 4cm. Từ đó BC = 5cm. Sxq = 5.4.5 = 100 [cm2] s„, = 100 + -- .2 = 148 [cm2]. 'I’ -> Xét AABC có : AB2 + AC2 = BC2 [X2 + 152 = 172], nõn \ABC vuông tai A. l;i\ -.8.15 = 60 [cm2] sxq = 520- 120 = 400 [em2]. Độ dài mỗi cạnh bên là : h-400: [17 + 15 + 8]= 10 [cm]. Trong mặt phăng đáy ABCD ta vẽ All 1 CD ; BK 4 CD ta được DH = CK = [12 - 6] : 2 = 3 [cm] Chu vi đáy là . 280 : 10 = 28 [cm]. Dô dài cạnh BC là : 128 - [6 + 12]1 : 2 = 5 [cm]. Xét AKBC vuông tại K, ta có BK = V52 -32 = 4 [cm]. Diện tích toàn phần là : 280 + 36.2 = 352 [cm2].
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Hình lăng trụ đứng
+ Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.
+ Các mặt phẳng chứa đáy của hình lăng trụ đứng là các mặt phẳng song song, các mặt bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy, các cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài một cạnh bên gọi là chiều cao.
+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng.
Ví dụ: Lăng trụ đứng tam giác \[ABC.A'B'C'\] .
2. Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao
\[{s_{xq}} = 2.p.h\]
[$p$ là nửa chu vi đáy, $h$ là chiều cao]
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
2. Thể tích hình lăng trụ đứng
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao
$V = S.h$ [ $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao].
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của hình lăng trụ đứng [cạnh, góc, mặt phẳng]
Phương pháp:
Sử dụng quan hệ song song và vuông góc giữa các đường thẳng, các mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng và kiến thức về lăng trụ đứng.
Dạng 2: Tính độ dài cạnh, diện tích, thể tích...của hình lăng trụ đứng
Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức
+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao \[{S_{xq}} = 2.p.h\] [$p$ là nửa chu vi đáy, $h$ là chiều cao]
+ Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy
+ Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao $V = S.h$ [ $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao].
Ibaitap: Qua bài Công thức tính: [Diện Tích] [Thể tích] Hình Lăng Trụ Đứng & bài tập tham khảo cùng tổng hợp lại các kiến thức về hình lăng trụ đứng và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
Trong hình học không gian, hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, 2 đáy của hình lăng trụ chính là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
Ví dụ: Hình lăng trụ đứng.
II. DIỆN TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy với chiều cao của khối lăng trụ đứng, như sau:
\[S_{xq} = P. h\]
Trong đó:
- \[S_{xq}\]: diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng.
- P: chu vi đáy hình lăng trụ đứng.
- h: độ dài chiều cao hình lăng trụ đứng.
Công thức tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh với 2 lần diện tích đáy của khối lăng trụ đứng, như sau:
\[S_{tp}=S_{xq} +2.S_{d}\]
Trong đó:
- \[S_{tp}\]: diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng.
- \[S_{xq}\]: diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng.
- \[S_{d}\]: diện tích đáy hình lăng trụ đứng.
III. THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích với chiều cao của khối lăng trụ đứng,như sau:
\[V = S.h\]
Trong đó:
- V: thể tích hình lăng trụ đứng.
- S: diện tích đáy hình lăng trụ đứng.
- h: độ dài chiều cao hình lăng trụ đứng.
IV. BÀI TẬP THAM KHẢO DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Ví dụ: Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác biết độ dài các cạnh mặt đáy hình lăng trụ đứng lần lượt là 10m, 2m, 10m và độ dài chiều cao hình lăng trụ đứng là 12m.
Lời giải tham khảo:
Nửa chu vi của đáy tam giác hình lăng trụ đứng là: p= [10 + 2 + 10] : 2 = 11 [m]
Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích đáy tam giác hình lăng trụ đứng:
\[S = \sqrt{p.[p-a].[p-b].[p-c]}=\sqrt{11.[11-10].[11-10].[11-2]}=3\sqrt{11}\]
Áp dụng công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng, ta có thể tích của hình lăng trụ đứng đã cho là:
\[V = S.h=3\sqrt{11}.12=36\sqrt{11}[m^3]\]
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng, ta có diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng đã cho là:
\[S_{xq} = P. h=[10+2+10].12=264[m^2]\]
Bài này sẽ tổng hợp kiến thức về hình lăng trụ đứng như: Khái niệm, các loại hình lăn trụ đứng, cách tính diện tích và thể tích.
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.
Hình lăng trụ là một trong những loại hình học không gian được đưa vào chương trình giảng dạy toán phổ thông nói chung và toán lớp 8 nói riêng. Khi học nội dung này thì học sinh phải nắm vững các tính chất và công thức để vận dụng vào việc giải bài tập.
1. Hình lăng trụ đứng là gì?
Hình lăng trụ đứng chính là các khối hình học có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình vẽ trên đây là một ví dụ cho hình lăng trụ đứng. Nhìn vào hình vẽ chúng ta thấy hình lăng trụ trên có:
Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]
- Có 8 đỉnh A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ [số đỉnh tùy thuộc vào từng loại hình]
- Có các mặt bên đều là hình chữ nhật đó là AA’D’D, DCD’C’, BCB’C’, ABB’A’
- Có các đoạn thẳng song song với nhau và bằng nhau, chúng được gọi là các cạnh bên: AA’, BB’, CC’, DD’
Từ đây ta thấy hình hộp chữ nhật là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, bởi nó có 8 đỉnh, các mặt bên đều là hình chữ nhật.
2. Tính chất của hình lăng trụ đứng
- Hai đáy của hình lăng trụ chính là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
- Hình lăng trụ có các mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy và chúng đều là hình chữ nhật.
- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau, chúng vuông góc với mặt phẳng đáy và đó cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ.
3. Hình lăng trụ đứng có những loại nào?
* Lăng trụ đứng tam giác: là hình lăng trụ có mặt phẳng đáy là hình tam giác
* Lăng trụ đứng tứ giác: là hình lăng trụ có đáy là một hình tứ giác
* Lăng trụ đứng ngũ giác: là hình trụ mà mặt phẳng đáy của nó có hình ngũ giác
* Hình hộp đứng: là hình trụ mà mặt phẳng đáy của nó chính là một hình bình hành
* Ngoài ra hình hộp chữ nhật hay hình lập phương cũng chính là những loại hình của lăng trụ đứng
4. Cách tính diện tích của hình lăng trụ đứng
Chúng ta cũng có hai phần như bài học trước, thứ nhất là diện tích xung quanh và thứ hai là diện tích toàn phần.
Cách tính diện tích xung quanh của lăng trụ đứng
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng chính là tổng diện tích của tất cả các mặt bên của một hình lăng trụ.
Để tính được diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng chúng ta lấy chu vi đáy nhân với chiêu cao.
Công thức tổng quát:
[!! Sxq = P \times h !!]
Trong đó:
- Sxq là diện tích xung quanh
- P là chu vi đáy, tùy thuộc vào mỗi hình mà có cách tính chu vi khác nhau.
- h là chiều cao của lăng trụ đứng
Ví dụ: Cho một lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy lần lượt là 5cm,6cm và 5cm. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ đó biết chiều cao của lăng trụ đó là 7cm?
Bài giải:
Vì là hình lăng trụ hình tam giác nên để tính chu vi đáy thì ta sẽ áp dụng công thức tính chu vi hình tam giác.
Chu vi mặt đáy của lăng trụ đó là:
[!! P = 5+6+5=16[cm] !!]
Vậy, diện tích xung quanh của lăng trụ đó là:
[!! Sxq = 16 \times 7= 112[cm^2] !!]
Đáp số: 112 cm2
Cách tính diện tích toàn phần của lăng trụ đứng
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng chính là bằng tổng diện tích của các mặt bên hình lăng trụ và hai mặt đáy của hình lăng trụ đó. Hay nói cách khác, diện tích toàn phần của hình lăng trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy.
Chúng ta có công thức tổng quát sau:
[!! Stp= Sxq + 2Sđáy !!]
Trong đó:
- Stp là diện tích toàn phần
- Sxq là diện tích xung quanh
- Sđáy là diện tích đáy, tùy thuộc vào mỗi hình mà có công thức tính khác nhau.
Ví dụ: Cho một hình lăng trụ đứng tứ giác, có mặt đáy của hình là một hình thang. Mặt đáy có chiều dài hai đáy lần lượt là 10cm, 13cm, và chiều dài hai cạnh bên là 8cm và 11cm, chiều cao của hình thang mặt đáy là 7cm. Hãy tính diện tích toàn phần của lăng trụ đó, biết chiều cao hình lăng trụ là 6cm?
Bài giải:
Ta sẽ áp dụng công thức tính chu vi hình thang để tính chu vi mặt đáy của hình lăng trụ tứ giác này.
Chu vi của mặt đáy hình thang là:
[!! P = 10+13+8+11= 42[cm] !!]
Diện tích mặt đáy của lặng trụ đó là:
[!! Sđáy = \frac{[13+10] \times 7}{2}=80,5 [cm^2] !!]
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó là:
[!! Sxq = 42 \times 6= 252 [cm^2] !!]
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là:
[!! Stp = 252 + [2 \times 80,5]= 413 [cm^2] !!]
Đáp số: 413cm2
5. Cách tính thể tích của lăng trụ đứng
Thể tích của một hình lăng trụ đứng chính là phần không gian mà hình đó chiếm phải. Chúng ta tính thể tích của một hình lăng trụ bằng cách lấy diện tích đáy nhân với chiều cao.
Công thức chung:
[!! V = S \times h !!]
Trong đó:
- V là thể tích
- S là diện tích đáy
- h là chiều cao
Ví dụ: Cho một hình lăng trụ tam giác có diện tích đáy là 32cm2 và chiều cao của hình lăng trụ là 5cm. Tính thể tích của hình lăng trụ đứng đó?
Bài giải:
Thể tích của hình lăng trụ đó là:
[!! S = 32 \times 5 = 160[cm^2] !!]
Đáp số: 160 cm2
Trên đây là bài viết tổng quát về hình lăng trụ, các loại hình lăng trụ đứng và các công thức liên quan kèm theo ví dụ. Hi vọng bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về lăng trụ đứng để áp dụng nó vào việc giải bài tập một cách phù hợp nhất. Chúc các bạn học giỏi.