Hướng dẫn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cùng với các dạng bài tập trắc nghiệm dễ hiểu nhất. Các em tham khảo ngay để không bị mất điểm phần bài tập này nhé!
Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trọng chương trình lớp 11, tuy nhiên đây là một dạng bài khá thử thách đối với rất nhiều các bạn học sinh. Để nắm vững kiến thức này, các em học sinh hãy cùng VUIHOC ôn lại vững phần lý thuyết và cách giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhé!
1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
-
Nếu đường thẳng $\alpha$ vuông góc với mặt phẳng [P] thì ta nói góc giữa đường thẳng $\alpha$ và mặt phẳng [P] bằng 900.
-
Nếu đường thẳng $\alpha$ không vuông góc với mặt phẳng [P] thì góc giữa $\alpha$ và hình chiếu $\alpha$' của nó trên [P] gọi là góc giữa đường thẳng $\alpha$ và mặt phẳng [P].
1.2. Ký hiệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu $\alpha \perp$ [P] thì $[\widehat{\alpha,[P]}]=90^{0}$.
Nếu $\alpha$ không vuông góc với [P] thì $[\widehat{\alpha ,\alpha'}]$ với $\alpha'$ là hình chiếu của trên [P].
Chú ý: $0^{0} \leq [\widehat{\alpha,[P]}]\leq 90^{0}$.
2. Hướng dẫn cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.1. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ
-
Gọi vectơ u = [a;b] là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
-
Gọi = $\widehat{a,[P]}$, [P] là vectơ pháp tuyến của [P].
=> sin $\alpha$ = sin $[\widehat{\alpha,[P]}]$ = $\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$ = $\frac{|a.A + b.B|}{\sqrt{a^{2}}+b^{2}\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và [BCD] là góc ACB
B. Góc giữa AD và [ABC] là góc ADB
C. Góc giữa AC và [ABD] là góc CAB
D. Góc giữa CD và [ABD] là góc CBD
Giải:
Từ giả thiết ta có:
AB$\perp$ BC hoặc AB$\perp$ CD ⇒ AB$\perp$ [BCD]
⇒ [AC,[BCD]]= ACB
⇒ Chọn đáp án: A
2.2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học
-
Tìm I = $d\cap$ [P]
-
Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với [P]
-
[d, [P]] = $\widehat{AIH}$
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên [ABC] trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo góc giữa SA và [ABC].
A. $60^{0}$
B. $90^{0}$
C. $45^{0}$
D. $30^{0}$
Lời giải:
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng [ABC] nên SH$\perp$ [ABC]
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp[ABC]
[SA, [ABC]] = [SA, AH] = $\widehat{SAH}$
Ta có: SH$\perp$ [ABC] => SH$\perp$ AH
Mà: ⩟ ABC = ⩟ SBC => SH=AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H => $\widehat{SAH} = 45^{0}$
=> Chọn C
3. Bài tập trắc nghiệm minh họa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao
Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc [ABCD] sao cho SO\perp [ABCD]. Biết tan [SBO] = ½. Tính số đo của góc giữa SC và [ABCD]:
A. $30^{0}$
B. $45^{0}$
C. $60^{0}$
D. $90^{0}$
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên [ABC] trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và [ABC]:
A. $30^{0}$
B. $45^{0}$
C. $60^{0}$
D. $75^{0}$
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA\perp [ABC] và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và [BHK] là:
A. $45^{0}$
B. $120^{0}$
C. $90^{0}$
D. $65^{0}$
Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp [ABCD]. Gọi là góc giữa BD và mp [SAD]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\alpha =60^{0}$
B. $\alpha =30^{0}$
C. $cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$
D. $sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$
Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\perp [ABCD], SA = a\sqrt{6}. Gọi \alpha là góc giữa SC và mp [ABCD]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\alpha = 60^{0}$
B. $\alpha = 30^{0}$
C. $\alpha = 45^{0}$
D. $cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi \alpha là góc giữa AC và mp [ A’BCD’]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\alpha = 30^{0}$
B. $\alpha = 45^{0}$
C. $tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}$
D. $tan\alpha =\sqrt{2}$
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy [ABCD], góc giữa cạnh SC và mặt phẳng [ABCD] là?
A. $tan\beta =\sqrt{2}$
B. $tan\beta =\sqrt{5}$
C. $tan\beta =3$
D. $tan\alpha =2$
Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 60^{0}. Tính độ dài SA?
A. SA = $a\sqrt{5}$
B. SA = $a\sqrt{3}$
C. SA = $a\sqrt{15}$
D. SA = $a\sqrt{13}$
Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy [ABCD]. Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD] bằng 45^{0}.
A. SA = $a\sqrt{5}$
B. SA = $a\sqrt{3}$
C. SA = $a\sqrt{6}$
D. SA = $a\sqrt{2}$
Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc \widehat{ACB}=30^{0}, AC = 2a. Tính tan\alpha góc giữa SC và mặt phẳng [SAB].
A. $tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$
B. $tan\alpha =\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $tan\alpha =\frac{1}{2}$
D. $tan\alpha =\frac{3}{2}$
Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức và công thức toán hình 12 phục vụ ôn thi THPT QG, truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!
>> Xem thêm:
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. PHƯƠNG PHÁP. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng [P] thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng [P] bằng 90°. o Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng [P] thì góc tạo bởi đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên [P] gọi là góc giữa đường thẳng a và mp [P]. Tức là: Nếu a không vuông với [P] và d là hình chiếu của a trên [P] thì [a, [P]] = [a, a]= p. Để tìm hình chiếu ở của a trên [P] ta có thể làm như sau: Tìm giao điểm M. Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên [P]. Khi đó, a’ là đường thẳng đi qua hai điểm A và M. MỘT SỐ LOẠI GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP. Bài toán: Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy. Tìm góc giữa các đường thường và mặt phẳng trong các trường hợp sau: a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Tìm góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy [ABCD] H là hình chiếu vuông góc của S trên [ABCD] BHD là hình chiếu vuông góc của SD trên [ABCD] Vậy [SD,[ABCD] = [SD, HD] = SDH. b. Góc giữa cạnh bên và mặt đứng. Tìm góc giữa cạnh bên SC và [SHD] E là hình chiếu vuông góc của C trên [SHD]. c. Góc giữa đường cao và mặt bên. Tìm góc giữa đường cao SH và mặt bên [SCD] SK là hình chiếu vuông góc của SH trên [SCD]. Vậy [SH, [SCD]]=[SH, SK] = HSK.
3. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA. Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 60, gọi M là trung điểm của BC. Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là: Gọi H là trung điểm của AB khi đó SHI AB Mặt khác [SAB] là hình chiếu của SM trên [ABC]. Suy ra SM, [ABC] = SM, HM = SMH.