Xác định \[a\] để đa thức \[27{x^2} + a\] chia hết cho \[3x + 2\]
Chia đa thức cho đa thức là dạng toán quan trọng trong chương trình toán học lớp 8 trung học cơ sở. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể về chủ đề này nhé!
Lý thuyết chia đa thức cho đa thức
Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số \[[B\neq 0]\], khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho \[A=B.Q+R\], trong đó \[R=0\] hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.
Nếu \[R=0\] thì phép chia A cho B là phép chia hết.
Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia
\[[A^{3}+B^{3}]:[A+B]=A^{2}-AB+B^{2}\]
\[[A^{3}-B^{3}]:[A-B]=A^{2}+AB+B^{2}\]
\[[A^{2}-B^{2}]:[A+B]=A-B\]
Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:
- \[[125x^{3} + 1] : [5x + 1]\]
- \[[x^{2} –2xy + y^{2}] : [y – x]\]
Hướng dẫn giải:
- \[[125x^{3} + 1] : [5x + 1] = [[5x]^{3} + 1] : [5x + 1] =[5x]^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1\]
- \[[x^{2}-2xy+y^{2}] : [y-x] = [x-y]^{2}: [-[x-y]] =-[x-y]=y-x\]
Hoặc \[[x^{2}–2xy+y^{2}]:[y-x] = [y^{2}-2xy+x^{2}] : [y-x]\]
Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao
Tìm thương và dư trong phép chia đa thức
Phương pháp giải: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.
Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức \[4n^{3}-4n^{2}-n+4\] chia hết cho biểu thức \[2n+1\]
Hướng dẫn giải:
Thực hiện phép chia \[4n^{3}-4n^{2}-n+4\] cho \[2n+1\] ta được:
\[4n^{3}-4n^{2}-n+4=[2n+1][n^{2}+1]+3\]
Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho \[2n+1\], tức là cần tìm giá trị nguyên của n để \[2n+1\] là ước của 3, ta được:
\[2n+1=3\Leftrightarrow n=1\]
\[2n+1=1\Leftrightarrow n=0\]
\[2n+1=-3\Leftrightarrow n=-2\]
\[2n+1=-1\Leftrightarrow n=-1\]
Vây \[n=1;n=0;n=2\] thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ứng dụng định lý Bezout khi giải
Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.
Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8
Giải câu 67 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31
- [x3 – 7x + 3 – x2] : [x – 3].
- [2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x] : [x2 – 2].
Hướng dẫn giải:
- [x3 – 7x + 3 – x2] : [x – 3]
2. [2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x] : [x2 – 2]
Giải câu 69 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31
Cho hai đa thức \[A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5\] và \[B = x^{2}+1\]. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng \[A = B . Q + R\]
Hướng dẫn giải:
Để có thể tìm được dư R và Q thì ta cần đặt phép tính và thực hiện phép chia đa thức:
Phép chia đa thức \[A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5\] cho \[B = x^{2}+1\] được thực hiện như sau:
Suy ra \[Q = 3x^{2}+ x-3 ; R = 5x – 2\]
Kết luận: \[3x^{4}+ x^{3}+ 6x- 5 = [x^{2}+ 1][3x^{2} + x-3] + 5x – 2\]
Giải câu 71 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?
- \[A = 15x^{4}-8x^{3}+x^{2}\]
\[B=\frac{1}{2}x^{2}\]
2. \[A = x^{2}-2x+1\]
\[B=1-x\]
Hướng dẫn giải:
- Ta thấy từng hạng tử của A : \[15x^{4} ; 8x^{3} ; x^{2}\] đều chia hết cho\[x^{2}\]
Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.
2. Ta có: \[A = x^{2}-2x+1=[1-x]^{2}\], chia hết cho \[1-x\]
Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.
Giải câu 73 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32
Tính nhanh:
- \[[4x^{2}-9y^{2}] : [2x-3y]\]
- \[[27x^{3}-1] : [3x-1]\]
- \[[8x^{3}+1] : [4x^{2}-2x+1]\]
- \[[x^{2}- 3x + xy -3y] : [x + y]\]
Hướng dẫn giải:
- \[[4x^{2}-9y^{2}] : [2x-3y] = [[2x]^{2}–[3y]^{2}] : [2x-3y]=2x+3y\]
- \[[27x^{3}-1] : [3x-1] = [[3x]^{3}-1] : [3x-1] = [3x]^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1\]
- \[[8x^{3}+1]:[4x^{2}–2x+1]=[[2x]^{3}+1]:[4x^{2}-2x+1]=[2x+1][[2x]^{2}–2x+1]:[4x^{2}–2x+1]=[2x+1][4x^{2}–2x+1]:[4x^{2}–2x+1]=2x+1\]
- \[[x^{2}-3x + xy -3y] : [x + y] = [[x^{2}+ xy]-[3x+3y]] : [x + y] = [x[x + y]-3[x + y]] : [x + y] = [x + y][x-3] : [x + y] = x-3\]
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ và cách làm. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng
Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang
Xem thêm >>> Quy tắc nhân đơn thức với đa thức và Một số dạng bài tập
Xem thêm >>> Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us:
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
Người thực hiện: Trịnh Thị NGa
Thành phần :Tổ KHTN
Ngày báo cáo: 10/10/2018
A.Lý thuyết
I.Chia đa thức.
1.Khái niệm.
+] A B
+] Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho:
A=B.Q+R
[R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B]
- R=0 ta có pép chia hết.
- R 0 ta có phép chia có dư
2. Tính chất.
a] A[x] C[x]; B[x] C[x]
b] A[x] B[x] A[x].M[x] B[x]
c] A[x] M[x]; B[x] N[x] A[x] . B[x] M[x]. N[x]
II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.
- Đa thức chia có dạng x-a [a là hằng số]
*Phương pháp:
+ Sử dụng định lí Bơdu
+Sử dụng sơ đồ Hoocne
1.1. Định lí Bơdu
a]Định lí: Số dư của phép chia đa thức f [x] cho nhị thức x-a đúng bằng f[a]
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia da thức f[x] = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1
Giải:
Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f[x] cho x+1 đúng băng f[-1]
Có f[-1]= [-1]243+[-1]27+[-1]9+[-1]3+1=-3
Vậy số dư của phép chia đa thức f[x] cho x+1 bằng -3.
b] Hệ quả.
+] f[x] [x-a] f[a]=0.
+] Đa thức f[x] có tổng các hệ số bằng 0 thì f[x] [x-1]
+] Đa thức f[x] có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f[x] [x+1].
Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia.
GV thực hiện mẫu:
Ví dụ 2:[x3-7x+6]:[x+3]
HS thực hiện VD2.
GV tổng quát:
Với đa thức f[x]=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…..+an-1x+an.
Ta có sơ đồ Hoocne:
| a0 | a1 | a2 | …… | an-1 | an | |
| a | B0=a0 | b1=a.b0+a1 | b2=a.b1+a2 | …… | bn-1=a.bn-2+an-1 | r=a.bn-1+an |
b,Chứng minh sơ đồ [Nâng cao phát triển ] c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị của đa thức f[x] tại x=a [Đọc SGK/68]
2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên
*Phương pháp
Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng [sử dụng khi đa thức chia có nghiệm ]
Ví dụ:Tìm dư khi chia f[x] =x7+x5+x3+1 cho x2-1
C1: f[x]=x7+x5+x3+1=[x7-x]+[x5-x]+[x3-x] +3x+1
=x[x6-1]+x[x4-1]+x[x2-1]+3x+1
Có x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1
f[x]: x2 -1 dư 3x+1
C2: Có f[x]=[x2-1].Q[x]+ax+b với mọi x [1] Đẳng thức [1] đúng với mọi x ,nên Với x=1 có f[x]=a+b=4 x=-1 có f[-1]=-a+b=-2 a=3;a=1 Vậy dư là 3x+1
*Chú ý :
+] an-bna-b [ ab]
an+bna+b [n lẻ ;a-b]
+] xn-1x-1
x2n-1x2-1 x-1; x-1
x4n-1x4-1 x2-1; x2 +1
x3n-1x3-1 x2+x+1
III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức
*Phương pháp : có 4 cách
C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia [đ/n~ A=B.Q]
C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia[t/chất]
C3:Sử dụng các biến đổi tương đương
f[x] g[x] óf[x]g[x]
g[x] C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
B.Các dạng bài tập
Dạng 1:Tìm dư của phép chia [không làm tính chia]
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết.
Bài 1:Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1
Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS: x41=x41-x+x=x[x40-1]+x
=x[[x4]10-1]+x
=x[[x2-1][x2+1]]10+x
x[[x2-1][x2+1]]10+x:[x2+1] dư x
Bài 2.Tìm dư của phép chia f[x] =x50+x49+..........+x2+x+1 cho x2-1.
Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS: Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm
Bài 3.
Đa thức f[x] khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1 dư 2x+3
Tìm phần dư khi chia f[x] cho [x+1][x2+1]
HD: Có f[x]=[x+1].A[x]+4 [1]
f[x]=[x2+1].B[x]+2x+3 [2]
f[x]=[x+1][x2+1].C[x] +ax2+bx+c [3]
=[x+1][x2+1].C[x]+a[x2+1]+bx+c-a
=[x2+1][C[x].[x+1]+a]+bx+[c-a] [4]
Từ [2] và [4] b=2;c-a=3
b=2;c=
Vậy đa thức dư là x2+2x+
Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Xét giá trị riêng.
Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f[x]= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8.
HD:
Vì f[x]= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có:
f[x]=[x+1].Q[x]+5
f[x]=[x+2].H[x]+8
Với x=-1 ta có f[-1]=-1+a-b+2=5 [1]
Với x=-2 ta có f[-2]=-8+4a-2b+2=8 [2]
Từ [1] và [2] ta có: a=3; b=-1.
Bài 2: Tìm đa thức f[x] biết f[x] chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho [x-3][x-2] được thương là 3x và còn dư.
HD:
Theo bài ta có:
f[x]= [x-3].A[x]+7
f[x]=[x-2].B[x]+5
f[x]=3x[x-3][x-2]+ax+b.
các đẳng thức tren đúng với mọi x nên:
+Với x=2 có f[2]=5=> 2a+b=5
+Với x=3 có f[3]=7=> 3a+b=7
Do đó dư là 2x+1
F[x]= 3x[x-2][x-3]+2x+1+3x3-15x2+20x+1
Dạng 3: Chứng minh chia hết
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.
Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1
HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1
Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2[t-1][t2+t+1]+[ t2+t+1] t2+t+1
Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1.
Bài 2: [x2-x9-x1945] [x2-x+1]
HD:
x2-x9-x1945=[x2-x+1]+[-x9-1]+[-x1945+x]
Có x2-x+1 x2-x+1
x9+1x3+1 nên x9+1 x2-x+1
x1945-x=x[x1944-1]=x[[x6]324-1] x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x x2-x+1
Chứng tỏ [x2-x9-x1945] [x2-x+1]
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau:
- x43: [x2+1]
- [x27+x9+x3+x]:[x-1]
- [x27+x9+x3+x]:[x2-1]
- [x99+x55+x11+x+7]: [x+1]
- [x99+x55+x11+x+7]: [x2+1]
Bài 2: Chứng minh rằng:
- x10-10x+9 chia hết cho [x-1]2
- x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1[ với n là số tự nhiên]
- x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1[ với m, n là số tự nhiên]
Bài 3: Cho đa thức f[x], các phần dư trong các phép chia f[x] cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f[x] cho x[x-1]
Bài 4 : T×m ®a thøc f[x] biÕt r»ng f[x] chia cho x - 3 th× dư 2, f[x] chia cho x + 4 th× dư 9, cßn f[x] chia cho x2 +x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn dư.
| Duyệt của tổ chuyên môn: | Lãng Ngâm, ngày 10 tháng 10 năm 2018. Người thực hiện Trịnh Thị Nga |
Đánh giá, nhận xét chuyên đề:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Tác giả: Trịnh Thị Thoan