Đánh giá ký hiệu r trong toán học

Trong chương trình Toán học, “tập hợp R” là một khái niệm quan trọng và đòi hỏi các em học sinh cần nắm chắc kiến thức mới có thể giải được bài tập. Vậy tập hợp R là tập hợp gì? Các tính chất và mối quan hệ của tập hợp R với các tập hợp khác ra sao? Cùng theo dõi nội dung tổng hợp dưới đây để có cái nhìn đúng nhất nhé!

Tìm hiểu về tập hợp R

Mục lục

• 1 Tập hợp R là tập hợp gì?
• 2 Một số tập hợp khác trong Toán học
  • 2.1 Tập hợp các số tự nhiên 
  • 2.2 Tập hợp các số nguyên
  • 2.3 Tập hợp các số hữu tỉ
• 3 Mối quan hệ của tập hợp R với các tập hợp Toán học khác
• 4 Khám phá tính chất của số thực
  • 4.1 Tính chất cơ bản
  • 4.2 Tính hoàn chỉnh
  • 4.3 Thuộc tính của số thực
  • 4.4 Tính chất nâng cao
• 5 Các tập hợp con thường gặp của tập hợp R
• 6 Một số bài tập về tập hợp R

Trong Toán học, R chính là ký hiệu của tập số thực. Tập hợp này bao gồm số hữu tỉ và vô tỉ, R được xem là tập hợp số lớn nhất trên các tập số. Theo đó, số vô tỉ là số được viết dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn; còn số hữu tỉ là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số ab với b#0. 

Tập hợp R là tập hợp gì?

Ký hiệu tập số R: (R = Q U I), trong đó:

• N là tập hợp của số tự nhiên

• Z là tập hợp của số nguyên
• Q là tập hợp của số hữu tỉ
• I = RQ tập hợp của số vô tỉ

Mỗi số thực sẽ được biểu diễn tại một điểm ở trên trục số và ngược lại, mỗi điểm trên trục số sẽ biểu diễn một số thực. Vì vậy, chỉ có tập hợp số thực R mới có thể lấp đầy được trục số. 

Ngoài ra, trong tập hợp R thì ta có thể định nghĩa các phép toán học đúng như trong tập hợp số hữu tỉ. Đối với phép cộng, ta có thể dễ dàng chứng minh: 

• Với mọi a thuộc R: a + 0= a
• Với mọi a,b thuộc R: a + b = (a + b)

• Với mọi a,b thuộc R: a + b = b + a
• Với mọi a,b,c thuộc R: (a + b) + c = a + (b + c)
• Với mọi a,b,c thuộc R: a + c = b + c → a=b

Một số tập hợp khác trong Toán học

Các tập hợp số cơ bản trong Toán học là:

Tập hợp các số tự nhiên 

• Ký hiệu là N
• N={0, 1, 2, 3,…}

Tập hợp các số nguyên

• Ký hiệu là Z
• Z={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp số nguyên Z sẽ bao gồm các phần tử là số tự nhiên và các phần tử đối của chúng trên trục số. 
• Tập hợp các số nguyên dương có kí hiệu là N*

Tập hợp các số hữu tỉ

• Ký hiệu là Q
• Q= {abI a, b∈Z, b#0}
• Thông thường, mỗi số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc là vô hạn tuần hoàn.

Mối quan hệ của tập hợp R với các tập hợp Toán học khác

Tập hợp R chính là tập hợp số lớn nhất trong tất cả các tập số, cụ thể:

Mối quan hệ của tập hợp R với các tập hợp Toán học khác

• Ta có : R=Q🇺I
• Các tập hợp Toán học: N ; Z ; Q và R

→ Khi đó, quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Khám phá tính chất của số thực

Dưới đây là các tính chất của một số thực, thuộc tập hợp R: 

Tính chất cơ bản

• Bất kỳ một số thực khác 0 là số âm hoặc số dương.
• Tổng và tích của 2 số thực không sẽ là một số thực không âm.
• Các số thực tạo nên một tập hợp vô hạn, và thực tế là chúng có thể đếm được.
• Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của số thực.
• Các số thực có thể được dùng để thể hiện các phép đo đại lượng liên tục như số thập phân vô hạn với chuỗi chữ số bên phải dấu thập phân.
• Chỉ có thể biểu thị chính xác một vài số thực với một số hữu hạn chữ số. 

Số thực chỉ biểu thị chính xác khi là một số hữu tỷ

Tính hoàn chỉnh

• Các số thực là hoàn chỉnh khi xét về mặt hình thức đơn.
• Dãy số (xn) Cauchy gồm các số thực, tồn tại khoảng cách |xn − xm| < ∝ tại số nguyên N (∝>0, với mọi n, m).
• Khi dãy số (xn) hội tụ đến giới hạn x, thì khoảng cách |xn − x| < ∝ (∝>0, với mọi n > N).
• Không gian cấu trúc Tôpô của các số thực là hoàn chỉnh.
• Tập hợp các số thực R hội tụ về căn bậc hai dương của 2.
• Các tính chất đầy đủ của số thực là cơ sở để xây dựng giải tích toán học 

Thuộc tính của số thực

• Tập hợp số thực bao gồm một số trường, các phép tính cộng, nhân và chia cho số khác 0.
• Số thực được sắp xếp trên trục hoành theo cách thương tích với phép cộng và phép nhân. 
• Các số thực R sẽ cho biết nếu tập hợp một số thực không trống có giới hạn thì nó sẽ có cận trên chính là các số thực nhỏ nhất.

Tính chất nâng cao

• Các số thực là không thể đếm được, tập hợp R là vô hạn.
• Tất cả các số thực là số siêu việt.
• Trong không gian cấu trúc Tôpô, các số thực có thể được phân tách.
• Tập hợp các số thực có thể tạo thành một không gian Metric, khoảng cách giữa x và y là một giá trị tuyệt đối Ix-yI. 
• Tập hợp số thực là một cấu trúc liên kết thứ tự. 
• Tập hợp số thực là một không gian số liệu có khả năng co lại, có thể phân tách và hoàn chỉnh. 
• Tập hợp các số thực R là compact cục bộ nhưng không compact. 

Các tập hợp con thường gặp của tập hợp R

Trước tiên, chúng ta cần hiểu được vài ký hiệu vô cùng trong diễn giải tập hợp R. Ký hiệu -∞ là âm vô cực và ký hiệu +∞ là dương vô cực. 

Chúng ta có thể diễn giải tập hợp con của tập hợp R như sau:

• [a, b] ={x ∈ / a ≤ x ≤ b}
• (a; b) ={x ∈ / a < x < b}
• [a, b) = {x ∈ / a ≤ x < b}
• (a, b] ={x ∈ / a < x ≤ b}
• [a; +∞) = {x ∈ / x ≥ a}

Cách biểu diễn tập hợp con của R trên  trục số

Một số bài tập về tập hợp R

Bài 1: Xác định đúng các tập hợp sau đây:

1. a) (-2;4)∪(0;5)
2. b) (-1;6)∩(1;7)
3. c) (-∞;7)(1;9)

Gợi ý: 

1. a) (-2;4)∪(0;5>=(-2;5)
2. b) (-1;6)∩(1;7)=(1;6)
3. c) (-∞;7)(1;9)=(-∞;1)

Bài 2: Xác định các tập hợp sau đây:

1. a) (-∞;1)∩(1;2)
2. b) (-5;7)∩(3;8)
3. c) (-5;2)∪(-1;4)
4. d) (-3;2)(0;3)
5. e) R(-∞;9)

Gợi ý: 

1. a) (-∞;1)∩(1;2)≠ ∅
2. b) (-5;7)∩(3;8) = (3;7)
3. c) (-5;2)∪(-1;4) = (-1;2)
4. d) (-3;2) (0;3) = (-3;0)
5. e) R(-∞;9) = (9;+∞)

Bài 3: Cho a, b, c, d ∊ R và a < b < c < d. Xác định các tập hợp sau đây:

1. a) (a; b) ∩ (c; d)
2. b) (a; d) ∖ (b; c)
3. c) (a; c] ∩ [b; d)
4. d) (b; d) ∩ (a; c)

Gợi ý:

1. a) (a;b)∩(c;d)=∅
2. b) (a;c]∩[b;d)=[b;c]
3. c) (a;d)∖(b;c)=(a;b]∪[c;d)
4. d) (b;d)∖(a;c)=[c;d)

Như vậy, nội dung của bài viết trên đây thì chúng tôi đã chia sẻ đến bạn các thông tin cần thiết về tập hợp R. Hy vọng là với các kiến thức này đã giúp các bạn hiểu hơn về tập hợp số này để có thể giải các loại bài tập. Để biết thêm các kiến thức Toán học, hãy truy cập website của chúng tôi hàng ngày nhé!